Continuidad de una función.

Continuidad de una función.

Una función f(x) es continua en x = x₀ si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. El punto x = x₀ pertenece al dominio de la función; es decir, que existe f (x₀).

2. Existe el límite cuando x tiende a x₀ de la función:

3. El valor del límite mencionado coincide con la imagen de x₀ mediante la función:

Tipos de discontinuidades.

Podemos encontrar tres tipos de discontinuidades de una función f(x) en un punto x₀:

1. Discontinuidad evitable: cuando existe el límite de la función en x₀ y es finito pero, o bien x₀ no pertenece al dominio de la función, o bien la imagen f(x₀) no coincide con el valor del límite en dicho punto x₀.

2. Discontinuidad de primera especie: pueden distinguirse dos tipos de discontinuidades de primera especie.

a) Discontinuidad de salto: cuando existen los límites laterales de f(x) en x₀ pero no coinciden sus valores.

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia de los valores de los límites laterales y, por tanto, la discontinuidad podrá ser de salto finito o de salto infinito. Será de salto finito cuando los límites laterales sean ambos finitos, y será de salto infinito cuando al menos uno de los límites laterales sea infinito.

b) Discontinuidad infinita: cuando los límites laterales de f(x) en x₀ son ambos infinitos del mismo signo.

3. Discontinuidad de segunda especie: cuando no existe alguno de los límites laterales de la función en x₀.

Operaciones con funciones continuas.

Si f(x) y g(x) son continuas en un punto x = a, entonces:

1. La función suma de ambas, (f + g))(x), también es continua en x = a.

2. La función diferencia de ambas, (f - g))(x), también es continua en el punto x = a.

3. La función producto de ambas, (f · g))(x), también es continua en el punto x = a.

4. La función cociente de ambas, (f / g))(x), también es continua en  el punto x = a, excepto cuando el denominador se anula en dicho punto, es decir si g(a) = 0.

Además, si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición (g ͦ f)(x) también es continua en a.

Continuidad en funciones elementales.

1. Las funciones polinómicas son continuas en el conjunto de todos los números reales.

2. Las funciones racionales (cocientes de dos polinómicas) son continuas en el conjunto de todos los números reales excepto en aquellos en los que se anula el denominador.

3. Las funciones exponenciales, potenciales y logarítmicas son continuas en todos los puntos de sus dominios de definición.

4. Dentro de las funciones trigonométricas, son continuas en el conjunto de todos los números reales las funciones sen(x) y cos(x). La función tg(x), que se define como el cociente  sen(x)/cos(x) es discontinua en todos los puntos en los que cos(x) = 0, es decir en los valores que son múltiplos impares de π/2.