Dados
dos puntos A y B, llamamos vector de origen A y de extremo B al segmento
orientado que va del punto A al punto B. Y se le nombra de la forma siguiente:
Como
vemos, este vector queda plenamente determinado por los puntos A y B, y es un
vector que llamaremos fijo.
Llamaremos
vector nulo al vector en el que los puntos origen y extremo
coinciden.
En un
vector además de los puntos origen y extremo, podemos observar los siguientes
conceptos.
· Módulo del
vector, es la longitud del segmento
que determinan los puntos A y B.
· Dirección del
vector, es la de la recta
determinada por A y por B, y la de sus rectas paralelas.
Dos vectores tienen la misma dirección
si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas.
· Sentido del
vector, es el del recorrido del
punto origen A al punto extremo B.
Si
tenemos los puntos A (ax, ay) y B (bx, by),
se llaman componentes o coordenadas
del vector fijo de origen A y extremo B a
los números:
x = bx - ax , y = by
- ay
Escribiremos
entonces:
El vector opuesto del de origen A y
extremo B es el vector de origen B y extremo A. Si las coordenadas de un vector
son (x, y) las de su opuesto son (- x, - y).
Como podemos
observar, un vector queda determinado por los puntos A y B, pero existirán
vectores que tengan los puntos origen y extremo distintos y, sin embargo,
posean el mismo módulo, sentido y dirección que él. Estos vectores estarán en
rectas paralelas o trasladados en la misma recta, y esto nos lleva a definir el
concepto de equipolencia entre vectores.
Dos vectores
son equipolentes si tienen el mismo
módulo, dirección y sentido.
La equipolencia
de vectores se ve gráficamente uniendo sus orígenes y sus extremos y viendo que
forman un paralelogramo.
Se llama vector
libre al conjunto formado por un vector fijo y todos sus equipolentes.
Cada vector libre puede representarse por uno
cualquiera de sus vectores fijos encerrado entre llaves o por una letra
minúscula.
Al representante de un vector libre que tiene el
origen en el origen de coordenadas se le llama representante canónico de dicho vector.
Al conjunto de todos los vectores libres del plano
lo denotaremos V2.
(A partir de ahora, en este texto vamos a escribir los vectores libres simplemente con una letra minúscula para facilitar la escritura)
Operaciones con vectores
Dado un número real
k y un vector de coordenadas (a, b) definimos el producto de k por el vector
como otro vector que viene dado por:
k · (a, b) = (k·a, k·b)
Dados dos vectores de
coordenadas (a, b) y (c, d) definimos la
suma y la diferencia de ambos vectores de la forma:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
Para sumar dos
vectores gráficamente los colocamos con sus orígenes en el mismo punto y
trazamos paralelas desde sus extremos construyendo un paralelogramo. La suma
será la diagonal mayor del paralelogramo, y la diferencia la diagonal menor.
Dado un conjunto B = {u, v} decimos que w es combinación lineal de los vectores u y
v si existen dos números reales a y b tales que:
w = a u + b v con a, b ÎR
La combinación
lineal puede ser de más de dos vectores.
Algunas
consecuencias que se desprenden de la definición son:
·
Todo
vector es combinación lineal de un conjunto de vectores que lo contenga.
·
Dados
dos vectores, su suma y su diferencia son combinaciones lineales de ellos.
·
El
vector cero es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores.
·
Las
combinaciones lineales de un sólo vector
son los múltiplos de dicho vector.
Ejemplo:
Dado u = (1, 0) y v
= (1, 2) expresaremos w = (3, 2) como combinación lineal de los vectores u y v.
w = a u + b v Þ (3, 2) = a (1,
0) + b (1, 2) = (a + b, 2 b)
Por tanto:
Decimos que un conjunto de vectores {u, v} es linealmente independiente o libre si la relación
a u - b v = 0
solo se verifica para a = b = 0.
Si alguno de los números reales a, b es distinto de
cero, diremos que el conjunto es linealmente
dependiente o ligado.
Ejemplo:
Dados los vectores u = (1, 0) y v = (1,1),
veamos si son libres o ligados.
Aplicando la definición anterior, tenemos que:
a · u
+ b v = 0 Þ a (1,
0) + b (1,1) = (0,0) Þ
Þ (a, 0) + (b, b) =
(0, 0) Þ (a + b, b) = (0, 0) Þ
Þ a + b = 0 y b = 0 Þ b = 0
y a = 0
Por tanto, los vectores u y v son linealmente
independientes.
Si en un conjunto de vectores alguno de ellos se
puede expresar como combinación lineal de los demás, entonces el conjunto es
linealmente dependiente.
En el plano, tres
vectores cualesquiera son linealmente dependientes, es decir, uno de ellos será
combinación lineal de los demás.
En V2, dos vectores son linealmente
dependientes si son paralelos (uno es múltiplo de otro). Por tanto, dos
vectores que tengan distinta dirección son independientes.
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