domingo, 4 de febrero de 2018

Vectores en el plano

Dados dos puntos A y B, llamamos vector de origen A y de extremo B al segmento orientado que va del punto A al punto B. Y se le nombra de la forma siguiente:

Como vemos, este vector queda plenamente determinado por los puntos A y B, y es un vector que llamaremos fijo.


Llamaremos vector nulo al  vector en el que los puntos origen y extremo coinciden.

En un vector además de los puntos origen y extremo, podemos observar los siguientes conceptos.

·     Módulo del vector, es la longitud del segmento que determinan los puntos A y B.

·     Dirección del vector, es la de la recta determinada por A y por B, y la de sus rectas paralelas.

Dos vectores tienen la misma dirección si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas.

·  Sentido del vector, es el del recorrido del punto origen A al punto extremo B.

Si tenemos los puntos A (ax, ay) y B (bx, by), se llaman componentes o coordenadas del vector fijo de origen A y extremo B a los números:

x = bx - ax , y = by - ay

Escribiremos entonces:   

El vector opuesto del de origen A y extremo B es el vector de origen B y extremo A. Si las coordenadas de un vector son (x, y) las de su opuesto son (- x, - y).

Como podemos observar, un vector queda determinado por los puntos A y B, pero existirán vectores que tengan los puntos origen y extremo distintos y, sin embargo, posean el mismo módulo, sentido y dirección que él. Estos vectores estarán en rectas paralelas o trasladados en la misma recta, y esto nos lleva a definir el concepto de equipolencia entre vectores.

Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

La equipolencia de vectores se ve gráficamente uniendo sus orígenes y sus extremos y viendo que forman un paralelogramo.


Se llama vector libre al conjunto formado por un vector fijo y todos sus equipolentes.

Cada vector libre puede representarse por uno cualquiera de sus vectores fijos encerrado entre llaves o por una letra minúscula.


Al representante de un vector libre que tiene el origen en el origen de coordenadas se le llama representante canónico de dicho vector.

Al conjunto de todos los vectores libres del plano lo denotaremos V2.

(A partir de ahora, en este texto vamos a escribir los vectores libres simplemente con una letra minúscula para facilitar la escritura)

Operaciones con vectores

Dado un número real k y un vector de coordenadas (a, b) definimos el producto de k por el vector como otro vector que viene dado por:

k · (a, b) = (k·a, k·b)

Dados dos vectores de coordenadas (a, b) y  (c, d) definimos la suma y la diferencia de ambos vectores de la forma:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)

Para sumar dos vectores gráficamente los colocamos con sus orígenes en el mismo punto y trazamos paralelas desde sus extremos construyendo un paralelogramo. La suma será la diagonal mayor del paralelogramo, y la diferencia la diagonal menor.


Dado un conjunto B = {u, v} decimos que w es combinación lineal de los vectores u y v si existen dos números reales a y b tales que:

w = a u + b v  con a, b ÎR

La combinación lineal puede ser de más de dos vectores.

Algunas consecuencias que se desprenden de la definición son:

·      Todo vector es combinación lineal de un conjunto de vectores que lo contenga.

·      Dados dos vectores, su suma y su diferencia son combinaciones lineales de ellos.

·      El vector cero es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores.

·      Las combinaciones lineales de un  sólo vector son los múltiplos de dicho vector.

Ejemplo:

Dado u = (1, 0) y v = (1, 2) expresaremos w = (3, 2) como combinación lineal de los vectores u y v.

w = a u + b v Þ (3, 2) = a (1, 0) + b (1, 2) = (a + b, 2 b)

Por tanto:

Decimos que un conjunto de vectores {u, v} es linealmente independiente o libre si la relación

a u - b v = 0

solo se verifica para a = b = 0.

Si alguno de los números reales a, b es distinto de cero, diremos que el conjunto es linealmente dependiente o ligado.

Ejemplo:

Dados los vectores u = (1, 0) y v = (1,1), veamos si son libres o ligados.

Aplicando la definición anterior, tenemos que: 
 
a · u  + b  v = 0 Þ a (1, 0) + b (1,1) = (0,0) Þ

Þ (a, 0) + (b, b) = (0, 0) Þ  (a + b, b) = (0, 0) Þ

Þ a + b = 0 y b = 0 Þ b = 0 y a = 0

Por tanto, los vectores u y v son linealmente independientes.

Si en un conjunto de vectores alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás, entonces el conjunto es linealmente dependiente.

En el plano, tres vectores cualesquiera son linealmente dependientes, es decir, uno de ellos será combinación lineal de los demás.

En V2, dos vectores son linealmente dependientes si son paralelos (uno es múltiplo de otro). Por tanto, dos vectores que tengan distinta dirección son independientes.

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