Vamos a estudiar ahora cómo se relacionan dos
vectores mediante el ángulo que forman y sus módulos.
Dados dos vectores u y v, llamamos producto escalar de u y v, y lo
denotamos por u · v, al número real que obtenemos
mediante la expresión:
u · v = | u | · | v | · cos (u, v)
Está claro que, como los módulos de u y v y el coseno del ángulo que forman son números reales, el producto
escalar es un número real.
Veamos qué interpretación
geométrica tiene el producto escalar.
El producto escalar de dos vectores es igual al
producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Como podemos ver en la figura, v’ = v · cos v, y v’
es la proyección de v sobre el vector u.
Luego | u | ·
| v | · cos (u, v) = | u | · v’
Veamos las propiedades
del producto escalar y las consecuencias que podemos obtener.
-
u2 = | u |2
En efecto, u2 = u u = |u | |u | cos (u, u) = |u |2 cos 0º = | u |2
-
Si {e1 , e2 } base canónica se
tiene:
e1 2 = e1 e1
= | e1 |2 = 1
e2 2 = e2 e2
= | e2 |2 = 1
-
Si u y v son perpendiculares u · v = 0 ya que cos
90º = 0.
-
Conmutativa: u v = v u.
-
Dados dos vectores unitarios u y v, su producto
escalar es igual al coseno del ángulo que forman.
Ejemplo:
Hallemos el producto escalar de dos vectores u y v,
que forman un ángulo de 60º y cuyos módulos son | u | = 3 y | v | = 2.
u · v = | u |
· | v | ·cos (u, v) = 3 · 2 ·cos 60º =
6 · 1/2 = 3
A partir de estas propiedades podemos deducir lo
siguiente:
- Dos vectores u, v, no nulos, son ortogonales Û u · v = 0.
- Si tenemos dos vectores u y v ortogonales se
cumple que:
-
| u
+ v |2 = | u |2 + | v |2
En efecto, como hemos visto en las propiedades del
producto escalar, para cualquier vector u se tiene que u2 = | u |2, por tanto:
| u + v |2 = (u + v) · (u + v) = u2
+ 2 uv + v2 = | u |2
+ | v |2
Este resultado es el teorema de Pitágoras.
Veamos ahora cómo podemos obtener la expresión del
producto escalar en función de sus coordenadas.
Sean u y v vectores de coordenadas (u1, u2)
y (v1, v2) respecto de la base canónica {e1 ,
e2 }. Entonces el producto
escalar de u y v viene dado por:
u · v = u1 v1 + u2 v2
Sean ahora u y v vectores de coordenadas (u1, u2) y (v1,
v2)respecto de una base cualquiera B =
{x, y}. Se tiene que u = u1 x
+ u2 y y v =
v1 x + v2 y, y su producto escalar será:
u · v = ( u1 x + u2 y) · (
v1 x + v2 y) =
= u1 v1
x2 + u1 v2
xy + u1 v1 xy + u2 v2 y2 =
= u1 v1 x2 + (u1 v2 + u1 v1) xy + u2 v2 y2
Si la base B fuese ortonormal, ortogonal o normal el
producto escalar tendría expresiones distintas, ya que cada tipo de base tiene
unas propiedades. En el caso de las bases ortonormales, el producto escalar se
expresa como u · v = u1 v1 + u2 v2,
y su cálculo se simplifica.
Cuando no se
especifica respecto de qué base son las coordenadas de un vector, se entiende
que es respecto de la base canónica.
Ángulo comprendido entre dos vectores
A continuación vemos que el producto escalar de dos
vectores nos va a permitir calcular el coseno del ángulo comprendido entre
ambos vectores.
Dados dos vectores, no nulos, u = (u1, u2)
y v = (v1, v2), se cumple que:
Si los vectores u y v están expresados respecto de
una base ortonormal, el coseno del ángulo que encierran ambos vectores se
expresa en función de sus coordenadas de la forma siguiente:
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