Ejercicio
1.
Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas,
continua, general y explícita de la recta que pasa por el punto A (2, - 5) y sabiendo que su vector director es v = (1, - 2).
Solución:
La ecuación vectorial es:
(x, y) = (2, - 5) + λ·(1, - 2)
Operando en la
ecuación anterior obtenemos:
(x, y) = (2 + λ, - 5 – 2 λ)
Igualando las
coordenadas, obtenemos las ecuaciones
paramétricas:
Despejando el valor de λ en las dos ecuaciones paramétricas e
igualando las expresiones obtenidas, deducimos que la ecuación continua es:
Si en la ecuación
continua multiplicamos sus términos en cruz se tiene que:
-
2 · (x –
2) = 1 · (y + 5)
-
-
2 x + 4
= y + 5
Y esta ecuación es
equivalente a la siguiente, que es la ecuación
general de la recta:
2 x + y + 1 = 0
Si en la ecuación
general despejamos la variable y, obtenemos la ecuación explícita de la recta:
y = - 2 x - 1
Ejercicio
2.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que
pasa por el punto A (1, 3) y cuyo vector director es v = (2, - 4). A partir de
ella, obtén la ecuación general.
Solución:
Como el vector
director es v = (2, - 4), la pendiente la obtenemos dividiendo su segunda
coordenada entre la primera. Es decir:
m = - 4 / 2 = - 2
Conocida la
pendiente y el punto A, tenemos que la ecuación
punto – pendiente de la recta es:
y – 3 = - 2 · (x – 1)
Operando en la ecuación anterior, tenemos:
y – 3 = - 2 x + 2
Dejando todos los términos en el mismo miembro de la
ecuación obtenemos la ecuación general
que es la siguiente:
2 x + y – 5 = 0
Ejercicio
3.
Dada la ecuación de la recta 2x - 3y + 4 = 0, encuentra
la ecuación punto – pendiente y la ecuación vectorial de dicha recta.
Solución:
Utilizando los
coeficientes de x e y en la ecuación, deducimos que el vector de coordenadas
(2, - 3) es perpendicular a la recta y el vector de coordenadas (3, 2) tiene la
misma dirección que la recta. Por tanto, este último podemos utilizarlo para
calcular la pendiente haciendo el cociente de sus coordenadas:
m = 2/3
Necesitamos un punto
de la recta, para lo que damos a x un valor cualquiera y despejamos el
correspondiente valor de y. Por ejemplo, si x = 1, deducimos que:
2 – 3 y + 4 = 0
- 3 y = - 6
y = 2
Luego el punto (x,
y) = (1, 2) pertenece a la recta.
Así, la ecuación punto – pendiente es:
y – 2 = (2/3)·(x – 1)
Como el punto (x, y)
= (1, 2) pertenece a la recta y el vector de coordenadas (3, 2) tiene su
dirección, la ecuación vectorial de
la recta es:
(x, y) = (1, 2) + λ · (3, 2)
Ejercicio
4.
Halla las
ecuaciones explícita y segmentaria de la recta que pasa por el punto A (2, - 5) y su
vector director es v (1, - 2).
Solución:
Con los datos que tenemos, deducimos la ecuación
continua de la recta:
Y, a partir de ella, obtenemos la ecuación
implícita:
- 2 x + 4 = y + 5
2 x + y + 1 = 0
Restamos 1 a los dos miembros de la ecuación:
2 x + y = - 1
Dividimos los dos miembros de la ecuación por – 1:
Esta ecuación podemos escribirla de la forma
siguiente:
La ecuación que acabamos de obtener es la segmentaria.
Para obtener la ecuación explícita despejamos la
variable a partir de la ecuación implícita:
2 x + y + 1 = 0
y = - 2 x - 1
Ejercicio
5.
Halla las ecuaciones explícita y segmentaria de una recta cuya
ordenada en el origen vale 2, y que determina un segmento al cortar al eje de
abscisas de longitud 6.
Solución:
La ecuación
segmentaria es de la forma siguiente:
Además, sabemos que la recta corta a
los ejes coordenados en los puntos de coordenadas (p, 0) y (0, q).
Si la ordenada en el
origen vale 2 significa que la recta pasa por el punto (0, 2), de forma que el
valor de q es 2.
Como la recta determina un
segmento al cortar al eje de abscisas de longitud 6, podemos distinguir dos casos. En el
primero, la recta pasa por el punto (6, 0) y en el segundo, la recta pasa por
el punto (- 6, 0). Luego p puede tomar estos dos valores, por lo que existen
dos rectas que son solución del problema.
a) Si p = 6 y q = 2, la ecuación segmentaria de la recta es:
b) Si p = - 6 y q = 2, la ecuación segmentaria de la recta es:
Multiplicando las
dos ecuaciones anteriores por 12, obtenemos:
a) 2 x + 6 y = 12
b) – 2 x + 6 y = 12
Despejando en cada
una de ellas la variable y, obtenemos las dos rectas que son solución del
ejercicio, en su ecuación explícita:
Ejercicio
6.
Encuentra la
ecuación explícita de la recta que pasa
por los puntos A (1, 2) y B (- 1, 1).
Solución:
La ecuación explícita es de la forma y = m x + n.
Como A pertenece a la recta, debe cumplir esta
ecuación y, por tanto:
2 = m · 1 + n ⟺ 2 = m + n
De la misma forma, como B pertenece a la recta,
tenemos que:
1 = m · (- 1) + n ⟺ 1 = - m + n
Si a la primera de estas dos ecuaciones le restamos
la segunda, miembro a miembro, se deduce que:
1 = 2 m ⟺ m = 1/2
Sustituyendo este valor de m en la primera ecuación,
tenemos que:
2 = 1/2 + n ⟺ n = 3/2
Como conclusión, la ecuación explícita de la recta
buscada es:
Ejercicio
7.
Estudia la posición relativa de los pares de rectas
siguientes:
a) 2x - 4 y + 6 =
0 y
-3x + 6y - 2 = 0
b) y - 1 = 2 (x -
2) y
x - 3y + 1 = 0
Solución:
a)Al tener las ecuaciones implícitas de las dos
rectas, hacemos los cocientes de sus coeficientes:
Por tanto, estas dos rectas son paralelas.
b)Expresamos la ecuación de la recta y - 1 = 2 (x - 2)
en su forma implícita:
y -1 = 2 x – 4
2 x – y – 3 = 0
Así, las rectas cuya posición relativa vamos a
estudiar en su forma general son:
2 x – y – 3 = 0
x - 3y + 1 = 0
Hacemos los cocientes de sus coeficientes:
Como las dos primeras fracciones son distintas,
deducimos que estas rectas son secantes.
Ejercicio
8.
Dada la recta
r: x - 2y + 4 = 0, halla el valor de m y C
para que la recta s: m x + 8 y - C = 0 sea coincidente con r.
Solución:
Utilizando los cocientes de sus coeficientes, para
que las rectas sean coincidentes debe cumplirse que:
De la igualdad de las dos primeras fracciones
deducimos que:
- 2 m
= 8 ⟺ m = -
4
De la igualdad de las dos últimas fracciones
deducimos que:
2 C = 32 ⟺ C = 16
Por tanto, la solución es m = - 4 y C = 16.
Ejercicio
9.
Encuentra la ecuación de la recta paralela a r: 3 x
+ y - 2 = 0, y que pasa por el punto A(2,- 3).
Solución:
Al ser paralela a r, la recta que buscamos tiene el
mismo vector director que r, por lo que su ecuación general es de
la forma 3 x + y + C = 0.
Como el punto A pertenece a la recta, debe cumplir
su ecuación. Esto supone que:
3 · 2 + (- 3) + C =
0 ⟺ 6 – 3
+ C = 0 ⟺ C = - 3
Así, la recta buscada es la de ecuación 3 x + y - 3 = 0.
Ejercicio
10.
Dada la recta r: 2x - y + 4 = 0, halla la recta perpendicular a ella que pasa por el punto A (-3, 1).
Solución:
Por ser perpendicular a la recta r, el vector normal
de esta última será un vector director de la que buscamos.
Así, (2, - 1) es vector director de la nueva recta.
Y esto supone que el vector (1, 2) será perpendicular a ella.
De esta manera, la ecuación general de la recta que
queremos encontrar será de la forma:
x + 2 y + C = 0
Como A es un punto de esta recta, debe cumplir su
ecuación:
- 3 +
2 · 1 + C = 0 ⟺ C = 1
Entonces, la recta buscada es la de ecuación x + 2 y + 1 = 0.
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