sábado, 24 de febrero de 2018

Distancias en el plano.

Vamos a definir a continuación las distancias entre los diversos elementos del plano:

I. Distancia entre dos puntos.

II.Distancia de un punto a una recta.

III.Distancia entre dos rectas.

Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos A y B, llamamos distancia de A a B al módulo del vector de origen A y extremo B. Así, si las coordenadas de los puntos son A(a1, a2) y B(b1, b2), tenemos que: 


Ejemplo:

Dados los puntos A (-1, 2) y B (2, 2), veamos cuál es la distancia entre ellos:

El vector de origen A y extremo B es el de coordenadas (3, 0). Luego:


A partir de la definición dada, podemos observar las siguientes propiedades:

1. d (A, B) = d (B, A) ya que el módulo del vector de origen A y extremo B es el mismo que el del vector de origen B y extremo A.

2. d (A, B) = 0 Û A = B.

En efecto:

·      Si A = B, el vector de origen A y extremo B es el vector nulo, cuyo módulo es cero y, por tanto, d (A, B) = 0.

·      Si d (A, B) = 0, tenemos que el módulo del vector de origen A y extremo B es cero, por lo que este es el vector nulo. 

  Es decir, que (b1 – a1, b2 – a2) = (0, 0), lo que implica que:

b1 – a1 = 0  y  b2 – a2 = 0 b1 = a1  y  b2 = a2

  Pero esto supone que A = B.

3. d (A, B) £ d (A, C) + d (C, B)  (desigualdad triangular)


Distancia de un punto a una recta.

Dada una recta r y un punto P exterior a ella, definimos la distancia del punto P a la recta r, como la distancia del punto P al punto M de r, donde M es el punto intersección de r y s, siendo s la recta perpendicular a r que pasa por P.


La distancia del punto P (a, b) a la recta  r: A · x + B · y + C = 0 tiene como expresión analítica:


Pero podemos obtener la distancia entre P y r siguiendo el proceso dado en la definición sin aplicar la expresión anterior. Es decir, hallamos la ecuación de la recta s, perpendicular a r y que pase por P. Calculamos el punto M, en el que se cortan r y s. La distancia entre P y r coincidirá con la distancia entre los puntos P y M.

Ejemplo:

Calculemos la distancia entre el punto P (5, - 1) y la recta cuya ecuación es r : 3 x – 4 y + 2 = 0.


Distancia entre dos rectas.

Dadas dos rectas r y r´, paralelas, definimos la distancia entre r y r´, como la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.


De forma clara si dos rectas r y r´ se cortan en un punto o son coincidentes entonces la distancia entre ellas es 0.

Veamos qué expresión analítica podemos obtener en este caso, a partir de la distancia de un punto a una recta, obtenida anteriormente.

Sean r: A · x + B · y + C = 0 y r´: A · x + B · y + C´= 0 dos rectas paralelas.

d (r, r´) = d (P, r´) con P (a, b) Î r

Si P Πr, tenemos que A · a + B · b + C = 0. Y, por tanto, se cumple que:


 A · a + B · b = - C

Aplicando ahora la expresión de la distancia al punto P y a r’:


Ejemplo:

Veamos cual es la distancia entre las rectas siguientes: 

r: 2 x - 4 y + 4 = 0     y      r’: x – 2 y + 5 = 0

En primer lugar vemos su posición relativa.

Realizando los cocientes entre los coeficientes de las incógnitas en la ecuación general obtenemos: 


Por tanto, las rectas son paralelas, y para poder aplicar la expresión anterior, deben de tener los coeficientes A y B iguales. Simplificando en r, dividiendo la ecuación por 2, tenemos que:

r: x - 2 y + 2 = 0     y      r’: x - 2y + 5 = 0

Y la distancia entre las rectas es: 


Otra forma de resolver este ejercicio sería tomar un punto de una de las rectas y calcular la distancia de dicho punto a la otra recta. 

Por ejemplo, si damos a y el valor 1 en la ecuación de la recta r, deducimos que el punto A (0, 1) pertenece a r. Y ahora calculamos la distancia entre r y r´ como la distancia entre el punto A y la recta r´.



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