Vamos a definir a continuación las
distancias entre los diversos elementos del plano:
I. Distancia
entre dos puntos.
II.Distancia
de un punto a una recta.
III.Distancia
entre dos rectas.
Distancia entre dos puntos.
Dados dos puntos A y B, llamamos distancia de A a B al módulo del vector
de origen A y extremo B. Así, si las coordenadas de los puntos son A(a1,
a2) y B(b1, b2), tenemos que:
Ejemplo:
Dados los puntos A (-1, 2) y B (2, 2), veamos cuál
es la distancia entre ellos:
El vector de origen A y extremo B es el de coordenadas
(3, 0). Luego:
A partir de la definición dada, podemos observar las
siguientes propiedades:
1. d (A, B) = d (B, A) ya que el módulo
del vector de origen A y extremo B es el mismo que el del vector de origen B y
extremo A.
2. d (A, B) = 0 Û A = B.
En efecto:
·
Si A = B, el vector de origen A y extremo B es el
vector nulo, cuyo módulo es cero y, por tanto, d (A, B) = 0.
·
Si d (A, B) = 0, tenemos que el módulo del vector de
origen A y extremo B es cero, por lo que este es el vector nulo.
Es decir, que (b1 – a1, b2 – a2) = (0, 0), lo que implica que:
Es decir, que (b1 – a1, b2 – a2) = (0, 0), lo que implica que:
b1 – a1
= 0 y b2 – a2 = 0 ⟺ b1 = a1 y b2
= a2
Pero esto supone que A = B.
3. d (A, B) £ d (A, C) + d (C, B) (desigualdad triangular)
Distancia de un punto a una recta.
Dada una recta r y un punto P exterior a ella,
definimos la distancia del punto P a la
recta r, como la distancia del punto P al punto M de r, donde M es el punto
intersección de r y s, siendo s la recta perpendicular a r que pasa por P.
La distancia del punto P (a, b) a la recta r: A · x + B · y + C = 0 tiene como expresión analítica:
Pero podemos obtener
la distancia entre P y r siguiendo el proceso dado en la definición sin aplicar
la expresión anterior. Es decir, hallamos la ecuación de la recta s,
perpendicular a r y que pase por P. Calculamos el punto M, en el que se cortan r
y s. La distancia entre P y r coincidirá con la distancia entre los puntos P y
M.
Ejemplo:
Calculemos la
distancia entre el punto P (5, - 1) y la recta cuya ecuación es r : 3 x – 4 y + 2 = 0.
Distancia entre dos rectas.
Dadas dos rectas r y r´, paralelas, definimos la distancia entre r y r´, como la
distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.
De forma clara si dos rectas r y r´ se cortan en un
punto o son coincidentes entonces la distancia entre ellas es 0.
Veamos qué expresión analítica podemos obtener en
este caso, a partir de la distancia de un punto a una recta, obtenida
anteriormente.
Sean r: A · x + B · y + C = 0 y r´: A · x + B · y +
C´= 0 dos rectas paralelas.
d (r, r´) = d (P,
r´) con P (a, b) Î r
Si P Î r, tenemos que A · a
+ B · b + C = 0. Y, por tanto, se cumple que:
A · a + B · b = - C
Aplicando ahora la expresión de la distancia al
punto P y a r’:
Ejemplo:
Veamos cual es la distancia entre las rectas
siguientes:
r: 2 x - 4 y + 4 =
0 y
r’: x – 2 y + 5 = 0
En primer lugar vemos su posición relativa.
Realizando los cocientes entre los coeficientes de
las incógnitas en la ecuación general obtenemos:
Por tanto, las rectas son paralelas, y para poder
aplicar la expresión anterior, deben de tener los coeficientes A y B iguales. Simplificando
en r, dividiendo la ecuación por 2, tenemos que:
r: x - 2 y + 2
= 0 y r’:
x - 2y + 5 = 0
Y
la distancia entre las rectas es:
Otra forma de resolver este ejercicio sería tomar un
punto de una de las rectas y calcular la distancia de dicho punto a la otra
recta.
Por ejemplo, si damos a y el valor 1 en la ecuación de la recta r,
deducimos que el punto A (0, 1) pertenece a r. Y ahora calculamos la distancia
entre r y r´ como la distancia entre el punto A y la recta r´.
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