Las distintas formas de expresión de la ecuación de
una recta r, son expresiones algebraicas que deben satisfacer los puntos
contenidos en r y sólo ellos. Por tanto, para saber si un punto pertenece a una
recta r, bastará con sustituir las coordenadas de P en la ecuación de r y ver
si la verifica.
Ejemplo:
Si consideramos la recta r: 2x + 3y – 8 = 0,
comprobemos si los puntos P(1,2) y Q(- 1, 4) pertenecen a dicha recta.
Sustituyendo las coordenadas de P en la ecuación,
obtenemos:
2·1 + 3·2 – 8 = 2 +
6 – 8 = 0
Por tanto, el punto P cumple la ecuación de la recta
y será un punto de ella.
Sustituyendo las coordenadas de Q en la ecuación,
obtenemos:
2·(-1) + 3·4 – 8 = -
2 + 12 – 8 = 2 ≠ 0
Luego el punto Q no pertenece a la recta ya que no
cumple su ecuación.
Veamos ahora qué datos necesitamos saber para
determinar la ecuación de una recta:
a) Un punto P y un vector director v, que es la
forma en que hemos hallado la ecuación de la recta.
b) Dos puntos A (a, b) y B (a’, b’) de la recta, que
reducimos al caso anterior cogiendo el vector de origen A y extremo B, cuyas
coordenadas son (a´-a, b´- b), como vector director de la recta y como punto
uno cualquiera de los puntos A ó B.
c) Un punto y la pendiente. Con estos datos podremos
escribir de forma inmediata la ecuación punto-pendiente.
Ejemplo:
Hallemos la ecuación continua de la recta que pasa
por los puntos A (1,2) y B (-1, 3).
Calculamos las coordenadas del vector director:
(-1, 3)-(1,2) = (-2,
1)
Tomando como punto de la recta el punto A (1, 2) y
el vector director calculado, obtenemos la ecuación continua:
Se dice que tres
puntos A, B, C están alineados si pertenecen a la misma recta.
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Vamos a ver ahora cómo determinar si los puntos A, B
y C están alineados.
Exponemos a continuación dos formas de hacerlo que
son equivalentes.
a) Hallamos la recta que pasa por dos de ellos y
comprobamos si el tercero pertenece o no a la recta hallada.
b) Hallamos dos vectores cualesquiera de los que
determinan los tres puntos, por ejemplo el de origen A y extremo B, y el de
origen A y extremo C. Si los dos vectores son proporcionales, los tres puntos
están alineados y en caso contrario no lo estarán.
Ejemplo:
A continuación vamos a estudiar si los puntos A (1,
0), B (2, 1) y C (3, 3), están o no alineados.
Calculamos el vector de origen A y extremo B:
(2, 1)- (1, 0)= (1, 1)
Calculamos el vector de origen A y extremo C:
(3, 3)- (1, 0)= (2, 3)
Para comprobar si estos vectores son o no
proporcionales, realizamos el cociente entre las coordenadas de ambos.
2/1 ¹ 3 /1
Por tanto, los vectores no son proporcionales y los
puntos A, B y C no están alineados.
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