viernes, 16 de febrero de 2018

Determinación de una recta en el plano. Puntos alineados.

Las distintas formas de expresión de la ecuación de una recta r, son expresiones algebraicas que deben satisfacer los puntos contenidos en r y sólo ellos. Por tanto, para saber si un punto pertenece a una recta r, bastará con sustituir las coordenadas de P en la ecuación de r y ver si la verifica.

Ejemplo:

Si consideramos la recta r: 2x + 3y – 8 = 0, comprobemos si los puntos P(1,2) y Q(- 1, 4) pertenecen a dicha recta.

Sustituyendo las coordenadas de P en la ecuación, obtenemos:

2·1 + 3·2 – 8 = 2 + 6 – 8 = 0

Por tanto, el punto P cumple la ecuación de la recta y será un punto de ella.

Sustituyendo las coordenadas de Q en la ecuación, obtenemos:

2·(-1) + 3·4 – 8 = - 2 + 12 – 8 = 2 ≠ 0

Luego el punto Q no pertenece a la recta ya que no cumple su ecuación.

Veamos ahora qué datos necesitamos saber para determinar la ecuación de una recta:

a) Un punto P y un vector director v, que es la forma en que hemos hallado la ecuación de la recta.

b) Dos puntos A (a, b) y B (a’, b’) de la recta, que reducimos al caso anterior cogiendo el vector de origen A y extremo B, cuyas coordenadas son (a´-a, b´- b), como vector director de la recta y como punto uno cualquiera de los puntos A ó B.

c) Un punto y la pendiente. Con estos datos podremos escribir de forma inmediata la ecuación punto-pendiente.

Ejemplo:

Hallemos la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A (1,2) y B (-1, 3).

Calculamos las coordenadas del vector director:

(-1, 3)-(1,2) = (-2, 1)


Tomando como punto de la recta el punto A (1, 2) y el vector director calculado, obtenemos la ecuación continua:


Se dice que tres puntos A, B, C están alineados si pertenecen a la misma recta.


 
Vamos a ver ahora cómo determinar si los puntos A, B y C están alineados.

Exponemos a continuación dos formas de hacerlo que son equivalentes.

a) Hallamos la recta que pasa por dos de ellos y comprobamos si el tercero pertenece o no a la recta hallada.

 
b) Hallamos dos vectores cualesquiera de los que determinan los tres puntos, por ejemplo el de origen A y extremo B, y el de origen A y extremo C. Si los dos vectores son proporcionales, los tres puntos están alineados y en caso contrario no lo estarán.

Ejemplo:

A continuación vamos a estudiar si los puntos A (1, 0), B (2, 1) y C (3, 3), están o no alineados.

Calculamos el vector de origen A y extremo B:

(2, 1)- (1, 0)= (1, 1)

Calculamos el vector de origen A y extremo C:

(3, 3)- (1, 0)= (2, 3)

Para comprobar si estos vectores son o no proporcionales, realizamos el cociente entre las coordenadas de ambos.

2/1 ¹ 3 /1

Por tanto, los vectores no son proporcionales y los puntos A, B y C no están alineados.

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