Problema 10.7.

¿En qué cifra acaba 7 elevado a 8510? 

¿Y 3 elevado a 2867?

Solución:

Calculamos las primeras potencias de 7:

7 ¹ = 7        7 ² = 49      7 ³ = 343       7 ⁴ = 2401       7 ⁵ = 16807       7 ⁶ = 117649

Si seguimos multiplicando por 7 para obtener las siguientes potencias, podemos observar que se van repitiendo las terminaciones.

Y se observa que estas terminaciones de las potencias de 7 se repiten en ciclos de cuatro dígitos: (7, 9, 3, 1).

Si dividimos 8510 entre 4, obtenemos 2127 de cociente y 2 de resto, lo que significa que se repetirán 2127 ciclos de 4 dígitos y la terminación será el segundo elemento del ciclo siguiente.

Por tanto, 7 elevado a 8510 acaba en 9.

Para la segunda pregunta, consideramos sucesivas potencias del 3:

3 ¹ = 3          3 ² = 9        3 ³ = 27         3 ⁴ = 81         3 ⁵ = 243         3 ⁶ = 729

Si seguimos multiplicando por 3 para obtener las siguientes potencias, podemos observar que se van repitiendo las terminaciones.

Y se observa que estas terminaciones de las potencias de 3 también se repiten en ciclos de cuatro dígitos: (3, 9, 7, 1).

Si dividimos 2867 entre 4, obtenemos 716 de cociente y 3 de resto, lo que significa que se repetirán 716 ciclos de 4 dígitos  y la terminación será el tercer elemento del ciclo siguiente.

De esta forma, 3 elevado a 2867 acaba en 7.