Calcula
el valor de a para que el área limitada por la curva de ecuación y = - x2 + a y la recta y = 0 sea igual a 4.
Solución:
La
curva y = - x2 + a es una parábola de vértice V (0, a).
La
recta y = 0 es el eje de abscisas.
Determinamos
los puntos en los que se cortan dicho eje y la parábola:
- x2 + a = 0
x2 = a
Las
soluciones de esta ecuación son:
Por
tanto, el valor de a debe ser positivo para obtener una región limitada por
la función y la recta, ya que si a fuese negativo la parábola no cortaría al
eje X.
Representando
los datos obtenidos, y teniendo en cuenta que x1 y x2 son
las soluciones de la ecuación anterior, la representación gráfica de la región sería
la siguiente:
Como
la superficie de la región limitada por ambas es 4, obtenemos lo siguiente:
Sustituyendo
x1 y x2 por sus valores, resulta:
Como
la región es simétrica respecto del eje de ordenadas, tenemos que:
Por
tanto, se deduce la siguiente ecuación:
La
resolvemos:
Por
tanto:
Despejando,
se deduce que:
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