Una fábrica produce muebles de dos tipos: en madera de roble y en madera de nogal. Un mueble de roble requiere 3 horas de montaje y 3 horas de acabado, mientras que uno de nogal requiere 3 horas de montaje y 6 horas de acabado. Por razones de maquinaria, el máximo número de horas disponibles es de 120 para el montaje y 180 para el acabado. Los beneficios que obtiene la fábrica son de 300 euros por cada mueble de roble y 400 euros por cada uno de nogal.
a)
¿Cuántos muebles de cada tipo hay que fabricar para que el beneficio sea
máximo?
b)
¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?
Solución:
Sean
x = nº de muebles de roble, y = nº de
muebles de nogal.
El
número de cada tipo de mueble ha de ser un número mayor o igual que cero. Y
añadiendo los límites establecidos para el número máximo de horas de montaje y
acabado, se obtienen las condiciones siguientes:
Y
la función beneficio que queremos optimizar es F (x, y) = 300 x + 400 y.
Utilizamos
una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de
las condiciones anteriores:
3
x + 3 y = 120
3
x + 6 y = 180
x
= 0 es el eje de ordenadas
y
= 0 es el eje de abscisas
Representando
gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la
coloreada de rojo y los vértices son los que se muestran en la figura:
Las
coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas 3 x + 3 y = 120, 3 x + 6 y = 180.
Las coordenadas de los cuatro vértices son,
por tanto:
A
(0,0) B (0, 30) C (20, 20) D
(40, 0)
Sustituyendo
estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:
F
(A) = 0
F
(B) = 400 · 30 = 12000
F
(C) = 300 · 20 + 400 · 20 = 14000
F
(D) = 300 · 40 = 12000
Así,
ya podemos dar respuesta a los dos apartados del problema:
a)
Para que el beneficio sea máximo, se debe fabricar 20 muebles de roble y 20 de nogal.
b) El beneficio máximo ascenderá a 14000 euros.
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