jueves, 14 de abril de 2016

Problema 1.


Determina la constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola de ecuación y = 3 a x2 + 2 x, la recta y = 0 y las rectas x = 0  y  x = a tiene de área:

     (a2 – 1)2

Solución:

Calculamos los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas:

3 a x2 + 2 x = 0

x · (3 a x + 2) = 0

x = 0   ó   x = - (2 / 3 a)

Como a es positivo, el valor - (2 / 3 a) es negativo y, por tanto, podemos hacer un dibujo aproximado de la parábola.


Con los datos conocidos, podemos asegurar que la región de la que conocemos el área es la coloreada de azul en la figura siguiente:


El área de la región la hallamos mediante la siguiente integral:


Como esta región tiene por área (a2 – 1)2, obtenemos la siguiente ecuación:

a4 + a2 = (a2 – 1)2

Resolvemos esta ecuación:

a4 + a2 = a4 – 2 a2 + 1

3 a2 = 1

a2 = 1 / 3

Sus soluciones son:


Como a es positivo, el valor buscado es:


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