Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo utilizamos un triángulo rectángulo.

Se define el seno del ángulo A como la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa; es decir:

Se define el coseno de A como la razón entre su cateto contiguo y la hipotenusa; es decir:

Se define la tangente de A como la razón entre su cateto opuesto y su cateto contiguo;  es decir:

Se define la cosecante de A como la razón entre la hipotenusa y su cateto opuesto; es decir, es el inverso del seno de A:

Se define la secante de A como la razón entre la hipotenusa y su cateto contiguo; es decir, es el inverso del coseno de A:

Se define la cotangente de A como la razón entre su cateto contiguo y su cateto opuesto; es decir, es el inverso de la tangente de A:

A partir de estas definiciones, es fácil deducir la siguiente relación entre el seno y el coseno de un ángulo:

Como el triángulo ABC es rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras y, por tanto, se tiene que  a ² + c ² = b ². Si tenemos en cuenta este resultado en la expresión anterior, se deduce que:

Esta expresión se conoce como Fórmula fundamental de la Trigonometría.

También se deduce fácilmente la siguiente relación entre la tangente, el seno y el coseno de un ángulo:

Luego se tiene que:

Si nos fijamos en el triángulo rectángulo del principio, observamos que el cateto opuesto al ángulo A es el cateto contiguo al ángulo C y el cateto contiguo al ángulo A es el cateto opuesto al ángulo C. Además, los ángulos A y C son complementarios, ya que suman 90^o.

Luego, como conclusión, si dos ángulos A y C son complementarios, se cumple que:

sen A = cos C           cos A = sen C          tg A = cotg C      

cosec A = sec C       sec A = cosec C       cotg A = tg C

Razones trigonométricas del ángulo de 45^o

Consideramos un triángulo rectángulo e isósceles, es decir, con sus dos catetos de la misma longitud.

Los ángulos A y C son iguales y miden 45^o.

Por tratarse de un triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras:

Según la definición de las razones trigonométricas, deducimos los siguientes resultados:

Razones trigonométricas del ángulo de 60^o

Consideramos un triángulo equilátero (sus tres lados son iguales y sus tres ángulos miden 60⁰⁾ y trazamos su altura:

La altura divide al triángulo en otros dos que son rectángulos. Consideramos uno de ellos:

Para evitar tener que operar con fracciones, hemos considerado que el lado del triángulo equilátero inicial mide 2 a.

Como este nuevo triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

Aplicando las definiciones de las razones trigonométricas, obtenemos los siguientes resultados:

Razones trigonométricas del ángulo de 30^o

Teniendo en cuenta que los ángulos de 30^o y 60^o son complementarios, no es preciso hacer cálculos para obtener las razones trigonométricas del ángulo de 30^o una vez conocidas las del de 60^o.