Suma y resta.
La
suma y la resta de complejos en forma polar son tan complicadas que no es útil
realizarlas. Es más sencillo pasar el número a forma binómica y operarlos.
Producto.
Dados
dos números complejos z1 = r φ y z2 = r ´ α,
el producto de ambos es el número complejo cuyo módulo es el producto de los
módulos de z1 y z2, y cuyo argumento es la suma de los
argumentos de ambos números. Es decir:
z1
· z2 = r φ · r ´ α = (r · r ´) φ + α
Veamos
cómo hemos obtenido esta expresión pasando z1 y z2 a
forma trigonométrica y operando:
z1 · z2 = [r (cos j + i sen j)] · [r ’ (cos a + i sen a)] =
= r · r ’ [(cos j · cos a - sen j · sen a) + i (sen j · cos a + cos j · sen a)]
Utilizamos las fórmulas para las razones trigonométricas
de la suma de ángulos, es decir:
cos
(j + a) = cos j · cos a - sen j · sen a
sen (j + a) = sen j· cos a + cos j · sen a
Y, de esta forma, la expresión anterior se convierte en:
z1 · z2 = r · r’ [cos (j + a) + i sen (j + a)] = r · r ’j + a
División.
Dados
dos números complejos z1 = r φ y z2 = r ´ α,
el cociente de ambos es el número complejo cuyo módulo es el cociente de los
módulos de z1 y z2, y cuyo argumento es la diferencia de
los argumentos de ambos números. Es decir:
z1
: z2 = r φ : r ´ α = (r / r ´) φ - α
Potenciación.
Dados
un número complejo z = r φ, la potencia n-ésima de z es un número
complejo de la forma siguiente:
z
n = (r φ) n = (r n) n · φ
En efecto, aplicando
el producto obtenemos lo siguiente:
(r
j) n
= r j r
j · · · r j = (r · r ··· r) j + j + · · + j = (r n ) n· φ
Si expresamos este resultado en forma trigonométrica,
obtendríamos la siguiente expresión conocida como fórmula
de Moivre:
[r (cos j + i sen j)] n = r n (cos nj + i sen nj)
Ejemplos:
Dados z1 = 1070o y z2
= 540o, vamos a calcular: a) z1 · z2,
b) z1 / z2 y
c) (z2 )8.
z1 · z2 =1070o · 540o = 50 110o
z1 /z2 = 1070o / 540o = 2 30o
(z2
)8 = 58 8 · 40o = 390.625 320o
Radicación.
Utilizando
el concepto de raíz n-ésima, se tiene que si rj es la raíz n-ésima de Ra se cumple que (rj) n
= Ra , es decir:
Pero,
como se ha visto anteriormente, un número complejo tiene infinitos argumentos
que difieren en 2 k p, es
decir:
Ra = Ra + 2p = Ra + 4p = Ra + 6p = · · · = Ra + 2kp
Por
tanto:
Así,
dado un número complejo z = R α, sus raíces n-ésimas son n números
complejos cuyo módulo es la raíz n-ésima del módulo de z y cuyo argumento es:
Ejemplos:
a) Vamos a calcular las raíces cúbicas de z = 27120o .
Sabemos
que los argumentos son:
Además:
Por tanto las raíces cúbicas de 27120o
son: z0 = 340o , z1 = 3160o y z2
= 3280o .
b) Vamos a resolver la ecuación z4 + 16 = 0.
Si z4 +
16 = 0, tenemos que z4 = - 16 . Por tanto:
Realizando
esta raíz, deducimos que z0 = 245o
, z1 = 2135o , z2 = 2225o y z3
= 2315o son las soluciones de la ecuación dada.
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