Encuentra dos números consecutivos y
positivos, tales que si multiplicamos sus cuadrados se obtiene el mismo
resultado que si sumamos dos unidades al doble del cubo del menor de los
números buscados.
Solución:
Llamamos x al menor de los dos números.
Así, el otro número sería x + 1 por ser consecutivos.
Sus cuadrados serán x2 y (x + 1)2.
Utilizando la condición indicada en el enunciado del problema,
obtenemos la ecuación siguiente:
x2·(x + 1)2 = 2 + 2 x3
Operamos para simplificar la ecuación:
x2·(x2 + 2 x + 1) = 2 + 2 x3
x4 + 2 x3 + x2 = 2 + 2 x3
x4 + 2 x3 + x2 - 2 - 2 x3
= 0
x4 + x2 - 2 = 0
Como la ecuación resulta ser bicuadrada, hacemos el cambio
de variable t = x2.
t 2 + t – 2 = 0
Resolvemos esta ecuación de segundo grado:
Luego las soluciones son t1 =
1 y t2 = - 2.
Al deshacer el cambio para hallar las
soluciones de la incógnita x, resulta que la raíz cuadrada de – 2 no es real.
Entonces, sólo es posible que la incógnita x tome los valores x1 = 1 y x2
= - 1.
Pero como en el problema se buscan números positivos, solo es viable la
solución x1 = 1.
De esta forma, x = 1 y x + 1 = 2.
Así, los números buscados son el 1 y el 2.
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