Ecuaciones de la recta en el plano.

Vamos a tratar de determinar las condiciones algebraicas que deben cumplir los puntos para pertenecer a una recta, es decir, vamos a determinar las ecuaciones de la recta.

Sea P (a, b) un punto de la recta r, y v = (v₁, v₂) un vector, no nulo, que tiene la misma dirección que r, y sea X (x, y) un punto cualquiera de la recta.

Como vemos los puntos P y X de la recta determinan con el origen dos vectores (el de origen O y extremo P, y el de origen O y extremo X, respectivamente), que son sus vectores de posición.

Se llama ecuación vectorial de la recta r, a la expresión

(x, y) = (a, b) + l·(v₁ , v₂ ) con lÎR

Operando en la ecuación anterior obtenemos:

(x, y) = (a + l·v₁, b + l·v₂)

Si igualamos las coordenadas obtenemos las conocidas como ecuaciones paramétricas de r:

Despejamos el parámetro l en cada una de las ecuaciones paramétricas de r:

Igualando ambas expresiones obtenemos la ecuación continua de la recta:

Si multiplicamos los dos miembros de la ecuación continua por (v₁ · v₂) obtenemos:

v₂ · (x - a) = v₁ · (y - b)

Restamos a los dos miembros  v₁·(y - b):

v₂ · (x - a) - v₁ · (y - b) = 0

Efectuamos los productos:

v₂ ·x - v₂ · a - v₁ ·y + v₁ · b = 0

Si llamamos A = v₂, B = -v₁  y  C = v₁ · b - v₂ · a, obtenemos la ecuación general o implícita de la recta

A·x + B·y + C = 0

Si en la ecuación continua hubiésemos multiplicado los dos miembros por  v₂, la expresión obtenida sería:

Al cociente  v₂/v₁ se le llama pendiente de la recta y, normalmente, se representa por m. Así, la expresión anterior queda de la forma:

y - b = m · (x - a)

Esta es la ecuación punto-pendiente de la recta.

·   El vector (- B, A) y su opuesto son vectores directores de la recta.

·     El vector (A, B) que es perpendicular a la recta, se llama vector normal de ella.

·    La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con el sentido positivo del eje de abscisas, y por tanto, nos proporciona la inclinación de dicha recta.

Ejemplo:

Dado el punto P (1, 0) y  v =(3, -1), hallamos las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P y tiene como vector director al vector v.

Ecuación vectorial: 

(x, y)= (1, 0) + l ·(3, -1)

Ecuaciones paramétricas:

Ecuación continua:

Ecuación general:

-1·(x-1)=3·y   Þ  -x-3·y + 1= 0  Þ  x + 3·y -1 = 0

Si en la ecuación continua quitamos denominadores:

- (x - 1) = 3y

Y despejando la variable y, obtenemos la ecuación punto - pendiente:

Otras ecuaciones de la recta.

En  el apartado anterior obteníamos las ecuaciones de la recta en forma vectorial, paramétricas, continua, general o implícita y punto - pendiente.

Veamos otras formas de expresar la ecuación de una recta, que nos darán una información complementaria a la obtenida anteriormente.

Consideramos la ecuación punto pendiente y - b = m · (x - a)

Sumamos a los dos miembros b:

y - b + b = m · (x - a)+ b

y = m·x - m·a + b

Llamando n = b - m·a, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

y = m·x + n

En esta ecuación, m es la pendiente, y  n recibe el nombre de ordenada en el origen, pues cuando x = 0 es el valor que toma la ordenada (es decir, el punto donde la recta corta al eje Y).

Veamos ahora otra forma de la ecuación de una recta que podemos conseguir a partir de la ecuación general de la recta:

A·x + B·y + C = 0

Restamos C a los dos miembros:

A·x + B·y = -C

Si ahora dividimos ambos miembros por - C:

Lo que es equivalente a:

Llamando p = - C/A  y q = - C/B se tiene la ecuación segmentaria de la recta:

Los números p y q nos indican que la recta corta a los ejes coordenados en los puntos (p, 0) y (0, q), siendo p y q la longitud de los segmentos que determina la recta con los ejes coordenados.

Ejemplo:

Vamos a ver cómo podemos obtener la ecuación explícita y la segmentaria de la recta, sabiendo que su ecuación general es:

x + 3·y - 3 = 0

El vector de coordenadas (1, 3) es normal a la recta y por tanto el vector de coordenadas (3, - 1) tiene la misma dirección que ella. 

Por tanto, la pendiente es m = - 1/3.

Si damos a x el valor 0 en la ecuación, despejamos el valor de y, obteniendo que y = 1. Por tanto, la recta pasa por el punto (0, 1).

De esta forma, la ecuación punto-pendiente es:

(y - 1) = -1/3 · x

Si sumamos 3 en los dos miembros de la ecuación implícita, obtenemos:

x + 3·y – 3 + 3 = 0 + 3

x + 3·y = 3

Dividimos por 3 los dos miembros de la ecuación anterior:

Y esta ecuación es equivalente a la siguiente, que es la ecuación segmentaria: