Se llama inecuación de segundo
grado con una incógnita a cualquiera de las desigualdades:
La solución de una inecuación de este tipo depende de las soluciones
de la ecuación de segundo grado a x2 + b x +
c = 0.
Así, para resolver estas inecuaciones (vamos a estudiar en
particular ax2 + b x +c £ 0)
podemos distinguir los casos siguientes:
Caso a) La ecuación a x2 + b x + c = 0 tiene dos soluciones reales
distintas x1 y x2 (supongamos que x1 > x2).
En este caso, la inecuación a x2
+ b x + c £ 0 , utilizando la factorización del polinomio; se
puede expresar de la forma a (x - x1) (x - x2) £ 0.
El
producto de los tres factores debe ser negativo o cero y esto sólo ocurre en
cada una de las situaciones siguientes:
Al ser x1 > x2, la situación 1 no se verifica
para ningún valor de x, y la situación 2 la cumplen los valores x Î [x2,
x1].
Por el mismo motivo, la situación 3
la verifican los valores x Î [x1,+¥) y la
situación 4 los valores x Î (-¥, x2].
Así, resumiendo, la solución
de la inecuación será:
Si a > 0, todos los x Î [x2, x1]
Si a < 0, todos los x Î(-¥, x2] È [x1,+¥)
Ejemplo:
Vamos a resolver la inecuación 2x2-12x+16 £ 0.
Las soluciones de la ecuación 2x2 – 12x + 16 = 0 son x1
= 4 y x2 = 2, y el coeficiente de x2 es a = 2, que es
positivo.
Por tanto, la solución de la inecuación la forman todos los x Î [x2,
x1] = [2, 4].
Caso b) La ecuación ax2
+ bx + c = 0 tiene dos soluciones reales iguales.
Aquí, la inecuación a x2
+ b x + c £ 0 puede
expresarse de la forma a(x - x1)2 £ 0,
siendo x1 la solución de la ecuación mencionada.
Como (x - x1)2 es siempre positivo o cero, la
inecuación sólo se verifica para x = x1 si a > 0 y para todo
número real x si a < 0.
En resumen, la solución de
la inecuación está formada:
Por todos los números reales cuando a < 0.
Por x = x1 cuando a > 0.
Ejemplo:
Resolvamos x2 + 6x +9 £ 0.
La ecuación x2 + 6x + 9 = 0 tiene dos soluciones iguales a
x1 = -3.
El coeficiente de x2 es a = 1, que es positivo
y, por tanto, la solución de la inecuación está formada únicamente por el valor
x = -3.
Caso c) La ecuación ax2
+ bx + c = 0 no tiene soluciones reales.
En este caso, ax2 + bx +c es positivo para todo valor real
de x si a > 0 y es negativo, también para cualquier valor real de x, si a
< 0.
Por tanto, la solución de la
inecuación ax2 + b x + c £ 0 será:
El conjunto de todos los números reales si a < 0.
El conjunto vacío si a > 0.
Ejemplo:
Como la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales y,
el coeficiente de x2 es a = 1 (siendo el coeficiente a > 0), la solución de la
inecuación x2 + 1 ³ 0 es R y la solución de x2 + 1 £ 0 es el
conjunto vacío.
Para
cualquiera de las otras inecuaciones de segundo grado (con los signos ³ ,> ,<)
hay que hacer un estudio similar al efectuado.
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