Variaciones Ordinarias.
Se llaman variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (n menor o igual que m) a los distintos
grupos formados por n elementos, de forma que:
-
Los n elementos que forman cada grupo son distintos, es
decir, no se repite ningún elemento.
-
Dos grupos son distintos si se diferencian en algún
elemento o en el orden en que están colocados.
El número de variaciones de m elementos
tomados de n en n se suele representar
como cualquiera de las dos expresiones siguientes:
Y se calcula mediante el producto de n
factores consecutivos y decrecientes, siendo m el mayor de dichos factores:
V m, n = m · (m - 1) · (m
- 2) · · · · (m - n + 1)
Es fácil observar que también es
equivalente la expresión anterior a la siguiente:
Ejemplo:
Supongamos que se quiere saber cuántos
números de tres cifras distintas podemos formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8.
Los dígitos utilizados son cuatro, y se
agrupan de tres en tres. Se exige que las cifras sean distintas, con lo cual no
pueden repetirse en un mismo número, y, además, está claro que influye el orden
de colocación, pues 624 y 246 son números diferentes por estar sus cifras
colocadas en distinta posición. Por todo esto deducimos que lo que se busca es
el número de variaciones ordinarias de cuatro elementos tomados de tres en
tres.
V4, 3 = 4 · 3 · 2 = 24
Así, con esos cuatro dígitos se pueden formar
24 números diferentes de tres cifras distintas.
Variaciones con
repetición.
Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los
distintos grupos formados por n elementos, de manera que:
- Los elementos que
forman cada grupo pueden estar repetidos.
- Dos grupos son
distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están
colocados.
Para calcular el número de variaciones con
repetición de m elementos tomados de n en n, utilizamos la expresión siguiente:
Ejemplo:
Con
las cifras 3, 5, 2 y 6, ¿cuántos números de tres cifras, repetidas o no, se
pueden formar?
Se
trata de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de tres en
tres, y, por tanto:
Luego se podrán formar 64 números distintos
de tres cifras, utilizando los cuatro dígitos dados.
Permutaciones
ordinarias.
Se llaman permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos
m elementos, de forma que:
-
En cada uno de los grupos intervienen los m elementos sin
repetirse ninguno.
-
Dos grupos son diferentes si el orden de colocación de
alguno de los m elementos es distinto.
Es
fácil observar, que las permutaciones de m elementos son, en realidad,
variaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m. Por tanto, podemos
calcular su número como:
Vm , m = m · (m - 1) · (m - 2) · · · · · 3 · 2
· 1
Así,
el número de permutaciones de m elementos se representa por Pm y se
calcula mediante el factorial de m
:
Pm = m · (m -
1) · (m - 2) · · · · 3 · 2 · 1 = m !
Ejemplo:
Si
cinco amigos van al cine y se sientan en una fila que sólo tiene cinco butacas,
las maneras distintas en que podrán sentarse son:
P5
= 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Permutaciones circulares.
Cuando
en las permutaciones no se distingue ni primer ni último elemento, aparecen las
permutaciones circulares de m elementos
que representamos por PC m ,
cuyo número es igual al de las permutaciones de m – 1 elementos.
PC m = P m –1 = (m – 1)!
Ejemplo:
Si
cuatro comensales se sientan en una mesa circular, el número de maneras de
colocarse, considerando sólo el orden entre ellos y no con respecto a la mesa,
serían permutaciones circulares de cuatro elementos, pues no hay primero ni
último. Así las formas distintas de colocarse en la mesa son:
PC 4 = P 4 –1 = (4 – 1)! = 3! = 6
Permutaciones con
repetición.
Se
llaman permutaciones con repetición de m
elementos, donde el primer elemento se repite a1 veces, el segundo a2
veces, . . . , el último am
veces, a los distintos grupos que pueden formarse con los m
elementos, de forma que:
- Cada grupo se compone de a1 veces
el primero, a2 veces el segundo, . . . , am veces el último.
- Dos grupos se diferencian en el orden de
colocación de alguno de sus elementos.
Si
llamamos n a la suma a1 + a2
+ · · · + am , está claro que n ³ m, y el número de las permutaciones con
repetición se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo:
Calculemos
cuantos números de cuatro cifras pueden formarse con las cifras 2 y 4, de forma
que el 2 y el 4 se repitan dos veces en cada número.
Cada
uno de los números que podrán formarse se corresponde a una permutación con
repetición de dos elementos (2 y 4) y en la que se repite dos veces el 2 y dos
veces el 4, respectivamente.
Así
pues, podremos formar los siguientes números:
Combinaciones.
Se
llaman combinaciones de m elementos
tomados de n en n (n £
m) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos, de
forma que:
- Cada agrupación está formada por n elementos
distintos entre sí, es decir, no puede haber ninguno repetido.
- Dos agrupaciones son distintas siempre que se
diferencien al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.
El
número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se simboliza por:
Y
se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo:
Un
grupo de cuatro amigos quiere organizar una fiesta. Acuerdan que dos de ellos
se encargarán de comprar la comida y las bebidas. ¿De cuántas formas posibles
puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misión?
Cada
una de las parejas se corresponde con una combinación de cuatro elementos
tomados de dos en dos; así, podemos calcular el número de parejas con la
fórmula indicada. Y el número de parejas distintas son:
Resolución de
problemas de Combinatoria.
Para
resolver problemas de combinatoria pueden ser útiles algunas consideraciones,
como se muestra a continuación. Siguiéndolas se puede localizar fácilmente si se trata de
variaciones, permutaciones o combinaciones lo que se debe utilizar en cada
problema.
Para
poder diferenciar claramente qué caso es el del problema que hemos de resolver,
debemos tener en cuenta estas cosas:
- ¿Importa el orden en la agrupación de los
elementos?
- ¿Se pueden repetir elementos en los grupos
que se formen?
- ¿Agrupamos todos los elementos?
Dependiendo
de las respuestas, reconoceremos qué caso concreto es el del problema.
A
continuación se muestra ordenadamente la forma de diferenciar cada caso, según las características del problema.
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