sábado, 4 de junio de 2016

Teoría de Combinatoria.


Variaciones  Ordinarias.

Se llaman variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n  (n menor o igual que m) a los distintos grupos formados por n elementos, de forma que:


-     Los n elementos que forman cada grupo son distintos, es decir, no se repite ningún elemento.


-     Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados.



El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se suele representar  como cualquiera de las dos expresiones siguientes:




Y se calcula mediante el producto de n factores consecutivos y decrecientes, siendo m el mayor de dichos factores:


V m, n = m · (m - 1) · (m - 2) · · · · (m - n + 1)


Es fácil observar que también es equivalente la expresión anterior a la siguiente:




Ejemplo:

Supongamos que se quiere saber cuántos números de tres cifras distintas podemos formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8.


Los dígitos utilizados son cuatro, y se agrupan de tres en tres. Se exige que las cifras sean distintas, con lo cual no pueden repetirse en un mismo número, y, además, está claro que influye el orden de colocación, pues 624 y 246 son números diferentes por estar sus cifras colocadas en distinta posición. Por todo esto deducimos que lo que se busca es el número de variaciones ordinarias de cuatro elementos tomados de tres en tres.


V4, 3 = 4 · 3 · 2 = 24


Así, con esos cuatro dígitos se pueden formar 24 números diferentes de tres cifras distintas.


Variaciones con repetición.

Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos, de manera que:


- Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos.


- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están colocados.


Para calcular el número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, utilizamos la expresión siguiente:
  



Ejemplo:


Con las cifras 3, 5, 2 y 6, ¿cuántos números de tres cifras, repetidas o no, se pueden formar?


Se trata de variaciones con repetición de cuatro elementos tomados de tres en tres, y,  por tanto:
  



Luego se podrán formar 64 números distintos de tres cifras, utilizando los cuatro dígitos dados.


Permutaciones ordinarias.

Se llaman permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos m elementos, de forma que:


-     En cada uno de los grupos intervienen los m elementos sin repetirse ninguno.


-     Dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de los m elementos es distinto.


Es fácil observar, que las permutaciones de m elementos son, en realidad, variaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m. Por tanto, podemos calcular su número como:


Vm , m = m · (m - 1) · (m - 2) · · · · · 3 · 2 · 1


Así, el número de permutaciones de m elementos se representa por Pm y se calcula mediante el factorial de m
:

Pm = m · (m - 1) · (m - 2) · · · · 3 · 2 · 1 = m !


Ejemplo:


Si cinco amigos van al cine y se sientan en una fila que sólo tiene cinco butacas, las maneras distintas en que podrán sentarse son:


P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120


Permutaciones circulares.
  
Cuando en las permutaciones no se distingue ni primer ni último elemento, aparecen las permutaciones circulares de m elementos que representamos por  PC m , cuyo número es igual al de las permutaciones de m – 1 elementos.


PC m = P m –1 = (m – 1)!


Ejemplo:


Si cuatro comensales se sientan en una mesa circular, el número de maneras de colocarse, considerando sólo el orden entre ellos y no con respecto a la mesa, serían permutaciones circulares de cuatro elementos, pues no hay primero ni último. Así las formas distintas de colocarse en la mesa  son:   


PC 4 = P 4  –1 = (4 – 1)! = 3! = 6


Permutaciones con repetición.

Se llaman permutaciones con repetición de m elementos, donde el primer elemento se repite a1 veces, el segundo a2 veces, . . . , el último am  veces, a los distintos grupos que pueden formarse con los m elementos, de forma que:


-     Cada grupo se compone de a1 veces el primero, a2 veces el segundo, . . . , am  veces el último.


-     Dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos.


Si llamamos n a la suma a1  + a2 + · · · + am , está claro que n ³ m, y el número de las permutaciones con repetición se calcula mediante la fórmula:



Ejemplo:


Calculemos cuantos números de cuatro cifras pueden formarse con las cifras 2 y 4, de forma que el 2 y el 4 se repitan dos veces en cada número.


Cada uno de los números que podrán formarse se corresponde a una permutación con repetición de dos elementos (2 y 4) y en la que se repite dos veces el 2 y dos veces el 4, respectivamente.


Así pues, podremos formar los siguientes números:




Combinaciones.
  
Se llaman combinaciones de m elementos tomados de n en n (n £ m) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos, de forma que:


-     Cada agrupación está formada por n elementos distintos entre sí, es decir, no puede haber ninguno repetido.


-     Dos agrupaciones son distintas siempre que se diferencien al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.


El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se simboliza por: 




Y se calcula mediante la fórmula:




Ejemplo:


Un grupo de cuatro amigos quiere organizar una fiesta. Acuerdan que dos de ellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas. ¿De cuántas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misión?


Cada una de las parejas se corresponde con una combinación de cuatro elementos tomados de dos en dos; así, podemos calcular el número de parejas con la fórmula indicada. Y el número de parejas distintas son:




Resolución de problemas de Combinatoria.

Para resolver problemas de combinatoria pueden ser útiles algunas consideraciones, como se muestra a continuación. Siguiéndolas se puede  localizar fácilmente si se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones lo que se debe utilizar en cada problema.


Para poder diferenciar claramente qué caso es el del problema que hemos de resolver, debemos tener en cuenta estas cosas:


-     ¿Importa el orden en la agrupación de los elementos?


-     ¿Se pueden repetir elementos en los grupos que se formen?


-     ¿Agrupamos todos los elementos?


Dependiendo de las respuestas, reconoceremos qué caso concreto es el del problema.


A continuación se muestra ordenadamente la forma de diferenciar cada caso,  según las características del problema.



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