Tamaño de las hojas de papel.

Las hojas de papel que se utilizan normalmente son de un tipo estándar ya que existe un sistema de tamaños, aceptado internacionalmente. Estos tipos se denominan A0, A1, A2,..., A7.

La propiedad que verifican estos tamaños es que la hoja A1 es la mitad de la hoja A0; la A2 es la mitad de la A1; y así, sucesivamente.

1. Sabiendo que la hoja A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, resulta posible calcular el área de todas las demás hojas.

¿Cuáles serían esas áreas para una hoja A3 y para una A4?

2. Puede demostrarse que, si todas las hojas han de guardar la misma proporción, debe cumplirse para todas ellas lo siguiente:

(Para hacer esta demostración,  utiliza una hoja A3, dóblala por la mitad y córtala por la línea que queda marcada al doblar. Reserva una de las mitades y repite el proceso anterior con la otra mitad. Vuelve a hacer lo mismo con las nuevas mitades tantas veces como precises hasta obtener una hoja de tamaño A7. Las mitades que has ido reservando puedes colocarlas de la forma que se indica a continuación).

¿Cómo se deduce de aquí la expresión que se quería demostrar?

3. A partir de la expresión demostrada y de la superficie de una hoja A4, deduce sus dimensiones.

Solución:

1. La superficie de una hoja A3 es la mitad de una A2 y, por tanto, la cuarta parte de una A1, que es la mitad de una A0; de esta forma, la superficie de una A3 es la octava parte de una A0; es decir, la octava parte de 1 metro cuadrado. Así, la superficie de una A3 es de 1250 cm².

La superficie de una A4 es la mitad de una A3 y, por tanto, es de 625 cm².

2. Cogiendo dos hojas de tamaños consecutivos cualesquiera, se deduce que sus dimensiones son de la forma que se indica en el dibujo siguiente: 

Y, como se obtienen triángulos semejantes, podemos aplicar la siguiente proporción:

 Queda pues, demostrada la propiedad indicada.

3. Hemos visto en el apartado primero que la superficie de una hoja A4 es de 625 cm². Si a y b son sus dimensiones, debe cumplirse que, aproximadamente:

a · b = 625 

b = 1,4142 · a

Entonces, a · 1,4142 · a = 625, es decir que a² = 625 / 1,4142 = 441,94.

Despejando, se obtiene que a = 21,02 cm y b = 29,72 cm son las dimensiones de la hoja A4.