Regla de Barrow. Área encerrada por una curva.

La Regla de Barrow es un teorema que nos permite calcular el valor de una integral definida conociendo una primitiva del integrando. Esta regla afirma lo siguiente:

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b], y sea F (x) una primitiva de f (x) en [a, b], entonces:

Para su demostración consideramos que si F(x) es una primitiva de f (x), también  F (x) + C es otra primitiva de f (x), siendo C una constante.

Por tanto:

Dando a x el valor a, resulta que:

 

Despejando, tenemos que C = - F (a).

Luego:

  Y, dando a x el valor b, se deduce que:

 

 Habitualmente, se escribe la diferencia F (b) – F (a) como:

Los valores a y b reciben el nombre de límite inferior y límite superior de la integral respectivamente. Se puede observar que el resultado obtenido en la integral no depende de la variable x, sino de estos límites de integración.

Así,  la regla de Barrow nos permite calcular la integral definida de una función continua en un intervalo, siempre que conozcamos una primitiva de ella.

Esto se utiliza para el cálculo de áreas de regiones limitadas por curvas, de las  que conocemos su primitiva.

Cálculo del área de una región plana.

Veremos los distintos casos que podemos encontrar en el cálculo de áreas de una región plana delimitada por la gráfica de varias funciones, sean estas curvas o rectas.

I.    Sea f(x) una función continua en [a, b] , y f(x) ³ 0   " xÎ [a, b].

El área de la región delimitada por la gráfica de f(x), las rectas x = a , x = b y el eje de abscisas, viene dada por la expresión siguiente: 

Antes de utilizar  esta expresión para calcular  el área de la región, debemos asegurarnos  de que la función es positiva entre los límites de integración.

Ejemplo:

Vamos a calcular  el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x) = - x² + 4, y las rectas  x = - 1,  x = 1 y el eje OX.

Tenemos en cuenta que la gráfica de la función es una parábola que corta al eje horizontal en los puntos de abscisas x = -  2  y  x = 2, y que f (x) ≥ 0 para todos los valores x del intervalo [- 2, 2].

Por tanto, el área buscada (en unidades de superficie, U.S.) es:

II.   Sea f(x) una función continua en [a, b] , y f(x) £ 0   " xÎ[a, b].

La región delimitada por la gráfica de f(x), las rectas x = a , x = b y el eje de abscisas, sería una región situada debajo del eje de abscisas por ser f (x) negativa en todo punto del intervalo.

Si calculásemos el área como en el caso anterior, obtendríamos un área negativa, cosa que no puede ocurrir, por lo que consideraremos la función opuesta, - f(x), cuya gráfica estará por encima del eje de abscisas y delimitará una región de igual área que la delimitada por f, pero esta región estará por encima del eje de abscisas, y por tanto será positiva.

Luego, aplicando lo obtenido en el punto anterior y las propiedades de la integral definida, el área buscada es:

Ejemplo:

Si f (x) = - x² - 1, calculemos el área de la región delimitada por la gráfica de f(x), las rectas x = - 1, x = 1 y el eje de abscisas.

Tenemos en cuenta que la gráfica de la función es una parábola que no corta al eje de abscisas y que es negativa en todo el dominio.

Por tanto, el área buscada es:

III. Sea f(x) continua en [a, b] , y tal que f(x) cambia de signo en [a, b].

En este caso el área de la región no viene dada como en los casos anteriores por la integral definida de f entre a y b, sino que será necesario calcular el área de cada una de las regiones donde f(x) no cambia de signo, y sumarlas a continuación para obtener el área buscada.

Cada integral tendrá el signo positivo o negativo según la región esté por encima o por debajo del eje de abscisas, y tendremos que el área es:

Ejemplo:

Vamos a calcular  el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = x² -1, y por las rectas   x = 0, x = 2 y el eje de abscisas.

En primer lugar, buscamos los puntos de corte de la función con el eje de abscisas para saber si cambia de signo.

f (x) = 0

x² - 1 = 0

La función se anula en los puntos de abscisas x₁ = - 1  y x₂ = 1. 

Como 1 Î [0, 2], se tiene que la función cambia de signo en dicho intervalo

Veamos en que intervalo la función es positiva y en cual es negativa.

Como f (2) = 2² - 1 = 3 > 0, es positiva en (1, 2) y,  por tener un cero en x = 1, resulta que será negativa en el intervalo (0, 1).

Así, el área buscada es: