Un
mayorista desea comprar dos tipos de ordenadores: los del tipo A le cuestan 300
euros cada uno y los del tipo B 500 euros la unidad. Dispone de 7000 euros para
hacer la compra y en su almacén solo tiene espacio para 20 ordenadores. En la
venta posterior de cada ordenador obtendrá una ganancia del 30% del precio de
compra.
¿Cuántos
ordenadores de cada tipo debe adquirir para que el beneficio que obtenga al
venderlos sea máximo? ¿Cuál es dicho beneficio?
Solución:
Sean x = nº de ordenadores del tipo A, y = nº
ordenadores del tipo B.
El
número de cada tipo de ordenador ha de ser un número mayor o igual que cero. Y
añadiendo los límites establecidos por el dinero disponible para la compra y
por el espacio del almacén, se obtienen las condiciones siguientes:
Y,
teniendo en cuenta que el beneficio es un 30% del precio de compra, la función
beneficio que queremos optimizar es:
F
(x, y) = 0,3 · 300 x + 0,3 · 500 y = 90 x + 150 y
Utilizamos
una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de
las condiciones anteriores:
300
x + 500 y = 7000
x
+ y = 20
x
= 0 es el eje de ordenadas
y
= 0 es el eje de abscisas
Representando
gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la
coloreada de verde y los vértices son los que se muestran en la figura:
Las
coordenadas de A se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones
de las rectas x = 0, y = 0.
Las
coordenadas de B se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones
de las rectas 300 x + 500 y = 7000, x =
0.
Las
coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones
de las rectas 300 x + 500 y = 7000, x +
y = 20.
Las
coordenadas de D se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones
de las rectas x + y = 20, y = 0.
Las coordenadas de los cuatro vértices son,
por tanto:
A
(0,0) B (0, 14) C (15, 5) D (20, 0)
Sustituyendo
estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:
F
(A) = 0
F
(B) = 150 · 14 = 2100
F
(C) = 90 · 15 + 150 · 5 = 2100
F
(D) = 90 · 20 = 1800
Como
se obtiene el máximo en B y en C, significa que se alcanza el máximo en todos
los puntos del segmento BC. Teniendo en cuenta que el número de ordenadores ha
de ser natural, los puntos (x, y) en los que se alcanza el máximo en este
problema deben cumplir, por tanto, las condiciones siguientes:
1ª. (x, y) ha de pertenecer a la recta de
ecuación 300 x + 500 y = 7000, que es equivalente a la ecuación 3 x + 5 y = 70.
2ª. x ≤ 15, y ≤ 14 por pertenecer al
segmento BC.
3ª. x e y han de ser números naturales.
Despejando
de la ecuación 3 x + 5 y = 70, obtenemos que:
Por
tanto, 70 – 3 x ha de ser múltiplo de 5 y sabemos que x ha de ser menor o igual
que 15.
De esta forma, los posibles valores de x son 0, 5, 10 y 15. Y en este
caso, los correspondientes valores de y son 14,11, 8 y 5, respectivamente. Es
decir:
(0, 14) = B, (5, 11), (10, 8) y (15, 5) = C
Además,
podemos comprobar que:
F
(5, 11) = 90 · 5 + 150 · 11 = 450 + 1650 = 2100
F
(10, 8) = 90 · 10 + 150 · 8 = 900 + 1200 = 2100
Deducimos
que se obtiene el máximo beneficio con cuatro opciones de compra:
14
ordenadores del tipo B.
15
ordenadores del tipo A y 5 del tipo B.
5
ordenadores del tipo A y 11 del tipo B.
10
ordenadores del tipo A y 8 del tipo B.
Y
en todas estas opciones se consigue el máximo beneficio, que es de 2100 euros.
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