Problema 7.

Una inmobiliaria alquila dos tipos de viviendas: las del tipo A, con las que gana 1000 euros por vivienda alquilada, y las del tipo B, con las que el beneficio es de 500 euros por cada una alquilada. Por política comercial, el número de viviendas alquiladas del tipo A no puede ser inferior a 50, ni superior a 75. Pero, además, el número de las alquiladas del tipo B no puede ser inferior al de alquiladas del tipo A.

Si el número máximo de viviendas que pueden alquilar en total es 400, determina cuántas han de ser de cada tipo para obtener el beneficio máximo.

Solución:

Sean  x = nº de viviendas del tipo A, y = nº de viviendas del tipo B.

Según los límites establecidos por la política comercial, se obtienen las condiciones siguientes:

Y la función beneficio que queremos optimizar es F (x, y) = 1000 x + 500 y.

Usamos una tabla de valores para representar gráficamente la recta x + y = 400: 

La recta y = x es la bisectriz del primer cuadrante.

Las rectas x = 50 y x = 75 son verticales.

Representando gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la coloreada de rojo y los vértices son los que se muestran en la figura:

Las coordenadas de A se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x = y, x = 50.

Las coordenadas de B se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x + y = 400, x = 50.

Las coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x + y = 400, x = 75.

Las coordenadas de D se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x = y, x = 75.

 Las coordenadas de los cuatro vértices son, por tanto:

A (50,50)     B (50, 350)     C (75, 325)     D (75, 75)

Sustituyendo estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:

F (A) = 1000 · 50 + 500 · 50 = 75000

F (B) = 1000 · 50 + 500 · 350 = 225000

F (C) = 1000 · 75 + 500 · 325 = 237500

F (D) = 1000 · 75 + 500 · 75 = 112500

De esta forma, deducimos que el máximo beneficio se  obtiene alquilando 75 viviendas del tipo A y 325 del tipo B.  Y ese máximo beneficio asciende a 237500 euros.