Problema 7.

Encuentra el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones siguientes:

f (x) = x² – 2 x               g (x) = - x² + 6 x

Solución:

Calculamos los puntos en los que se cortan ambas funciones:

x² – 2 x = - x² + 6 x

2 x² – 8 x = 0

2 x (x – 4) = 0

Las soluciones de esta ecuación son x₁ = 0 y x₂ = 4.

Vemos cuál de las funciones es mayor en el intervalo (0, 4), tomando x = 2:

f (2) = 4 – 4 = 0

g (2) = - 4 + 12 = 8

Como g (x) resulta mayor que f (x) en el intervalo (0, 4), el área del recinto encerrado por las dos gráficas es:

Calculamos esta integral:

El área del recinto limitado por ambas gráficas es de 64 / 3 unidades de superficie.