Problema 7.

Se define la función f (x) de la forma siguiente:

Halla a y b para que f sea derivable para todo valor de x.

Solución:

Para que f (x) sea derivable también ha de ser continua.

Independientemente de los valores a y b, f (x) es continua y derivable en todos los puntos de su dominio excepto en el punto x = 1. Por ello, hay que hallar los valores de a y b para los que la función es continua y derivable en dicho punto.

Para ser continua en x = 1 debe cumplirse que:

f (1) = a + b – 1

Por tanto:

a + b – 1 = 1

a + b = 2

Para ser derivable en x = 1 debe cumplirse que f ´ (1^- ) = f ´ (1⁺).

Como f (x) = a + b x –  x²  si x £ 1, resulta que  f ´ (1^- ) = b – 2 · 1 = b – 2

Como f (x) = 1 / x   si x > 1, resulta que  f ´ (1⁺) = - 1 / 1² = - 1.

Por tanto, se debe cumplir que  b – 2 = - 1; es decir, que  b = 1.

En conclusión, ha de cumplirse que a + b = 2 y b = 1; es decir, que los valores buscados son a = 1 y b = 1.