Problema 6.

En un almacén de bebidas se envasan dos tipos de garrafas. En cada garrafa del tipo A se mezclan 4 litros de refresco y 0,25 litros de licor, mientras que en cada una del tipo B se mezclan 2 litros de refresco y 0,5 litros de licor. Cada garrafa del tipo A se vende a 8 euros y cada una del tipo B a 12 euros. En el almacén se dispone diariamente de 440 litros de refresco y 65 litros de licor.

Si se vende todo lo que se envasa en un día, ¿cuántas garrafas de cada tipo han de envasarse para que el beneficio obtenido sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

Solución:

Sean  x = nº de garrafas del tipo A, y = nº garrafas del tipo B.

El número de cada tipo de garrafas ha de ser un número mayor o igual que cero. Y añadiendo los límites establecidos por la cantidad existente de ingredientes, se obtienen las condiciones siguientes:

Y la función beneficio que queremos optimizar es F (x, y) = 8 x + 12 y.

Utilizamos una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de las condiciones anteriores:

4 x + 2 y = 440        

      

 0,25 x + 0,5 y = 65

x = 0 es el eje de ordenadas

y = 0 es el eje de abscisas

Representando gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la coloreada de azul y los vértices son los que se muestran en la figura:

Las coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas 4 x + 2 y = 440;  0,25 x + 0,5 y = 65.

Las coordenadas de los cuatro vértices son, por tanto:

A (0,0)     B (0, 130)     C (60, 100)     D (110, 0)

Sustituyendo estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:

F (A) = 0

F (B) = 12 ·130 = 1560

F (C) = 8 · 60 + 12 · 100 = 1680

F (D) = 8 · 110 = 880

Así, para que el beneficio sea máximo hay que envasar 60 garrafas del tipo A y 100 del tipo B. Y ese beneficio máximo asciende a 1680 euros.