Problema 6.

Halla el área de la región encerrada por las curvas y = x² - 4  e  y = - x² + 4, y las rectas x = - 4 y x = 4.

Solución:

Calculamos los puntos de corte de ambas curvas:

x² - 4 = - x² + 4

2 x² = 8

x² = 4

Las soluciones de la ecuación son x = 2 y x = - 2.

-Vemos qué función es mayor en el intervalo (- 4, - 2), para lo que damos a x el valor - 3:

Si y = x² - 4, y x = - 3, entonces y = 5

Si y = - x² + 4, y x = - 3, entonces y = - 5

Por tanto, la primera de las curvas está por encima de la segunda en (- 2, 2).

-Vemos ahora qué función es mayor en el intervalo (- 2, 2), para lo que damos a x el valor 0:

Si y = x² - 4, y x = 0, entonces y = - 4

Si y = - x² + 4, y x = 0, entonces y = 4

Por tanto, la segunda de las curvas está por encima de la primera en (- 2, 2).

-Vemos, por último, cuál de ellas es mayor en el intervalo (2, 4), para lo que damos a x el valor 3:

Si y = x² - 4, y x = 3, entonces y = 5

Si y = - x² + 4, y x = 3, entonces y = - 5

Por tanto, la primera de las curvas está por encima de la segunda en (2, 4).

De esta forma, el área encerrada por ellas es:

Así, el área encerrada por las curvas es de 64 unidades de superficie.