Problema 6.

Consideramos las siguientes funciones:

a) Calcula los valores de a y b de manera que las gráficas de f (x) y de g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x = 3, es decir, que tengan la misma recta tangente en este punto.

b) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada en el apartado anterior.

Solución:

a) La pendiente de la recta tangente a f (x) en x = 3 es m = f ´ (3):

f ´ (x) = 2 x – a

m = f´ (3) = 2 · 3 – a = 6 – a

La pendiente de la recta tangente a g (x) en x = 3 es m´ = g ´ (3):

g ´ (x) =  x

m´ = g´ (3) = 3

La ecuación de la recta tangente a  f (x) en x = 3 es:

y – f (3) = m · (x – 3)

y – (5 -  3 a) = (6 – a) · (x – 3)

y – 5 + 3 a = (6 – a) · x – 18 + 3 a

y = (6 – a) · x – 13

La ecuación de la recta tangente a g (x) en x = 3 es:

y – g (3) = m´ · (x – 3)

y – [(9 /2) + b] = 3 · (x – 3)

y – 9 / 2 - b = 3 x – 9

y = 3 x – 9 + 9 / 2 + b

y = 3 x – 9 / 2 + b

Entonces, para que ambas tangentes sean iguales deben cumplirse las dos condiciones siguientes:

6 – a = 3

- 13 =  –9 / 2 + b

Despejamos los valores de a y b:

a = 3         b = – 17 / 2

b) La ecuación de la recta tangente será, por tanto:

y = 3 x - 13