Problema 5.

En una fábrica de bisutería se producen dos tipos de collares: corto y largo. Por cada collar corto se obtiene un beneficio de 4,5 euros y por cada collar largo un beneficio de 6 euros. Por el número de personal y de maquinaria, no pueden producirse al día más de 400 collares cortos, ni más de 300 collares largos. Y, por las mismas razones, tampoco pueden producirse más de 500 collares en total.

Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es el número de collares de cada tipo que conviene fabricar para obtener un máximo beneficio?

Solución:

Sean  x = nº de collares cortos, y = nº de collares largos.

El número de cada tipo de collar ha de ser un número mayor o igual que cero. Y atendiendo a los límites establecidos por el personal y la maquinaria, se obtienen las condiciones siguientes:

Y la función beneficio que queremos optimizar es F (x, y) = 4,5 x + 6 y.

Las rectas x = 0, x = 400 son verticales.

Las rectas y = 0,  y = 300 son horizontales.

Utilizamos una tabla de valores para representar gráficamente la recta x + y = 500:   

Representando gráficamente las cinco rectas, se deduce que la región factible es la coloreada de naranja y los vértices son los que se muestran en la figura:

Las coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x + y = 500, y = 300.

Las coordenadas de D se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x + y = 500, x = 400.

Las coordenadas de los cinco vértices son, por tanto:

A (0,0)     B (0, 300)     C (200, 300)     D (400,100)    E (400, 0)

Sustituyendo estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:

F (A) = 0

F (B) = 6 · 300 = 1800

F (C) = 4,5 · 200 + 6 · 300 = 2700

F (D) = 4,5 · 400 + 6 · 100 = 2400

F (E) = 4,5 · 400 = 1800

Por tanto, conviene fabricar 200 collares cortos y 300 largos para obtener el mayor beneficio, que sería de 2700 euros.