Problema 4.

Determina un sistema de inecuaciones que tenga como conjunto de soluciones el interior y los lados del triángulo del plano, cuyos vértices sean los puntos (0, 0), (2, 3) y (3, 1).

Solución:

Llamando A, B y C a los puntos A (0, 0), B (2, 3) y C (3, 1), tenemos que los lados del triángulo son las rectas que pasan por cada par de puntos. Vamos a hallar las ecuaciones de dichas rectas.

Si r es la recta que pasa por A y B, sabemos que su ecuación es de la forma:

y = m x + n

Sustituyendo las coordenadas de A y B en x e y, tenemos el sistema:

Así, la ecuación es r: 2x – 3y = 0.

Realizando el mismo proceso para los puntos A y C, obtenemos la recta s.

Y para B y C, obtenemos la recta t.

Sus ecuaciones son:

s: x – 3y = 0                t: y = - 2x + 7

Representamos las tres rectas y nos dan el triángulo buscado.

Para ver la parte del plano que está por debajo de la recta s: x – 3 y = 0, sustituimos un punto, por ejemplo el (1, 1), y vemos qué condición resulta:

1 – 3 · 1 = - 2 < 0

Luego, para tener la parte del plano debajo de la recta s, incluyendo a los puntos de la recta que formarán parte del lado del triángulo, debemos tomar la condición x – 3y ≤ 0.

Realizando el mismo procedimiento con las otras dos rectas tenemos, como solución del problema, el siguiente sistema de inecuaciones: