sábado, 16 de abril de 2016

Problema 4.


Halla el área de la región encerrada por el eje de abscisas y la gráfica de la siguiente función:

 f (x) = x3 – 4 x

Solución:

Calculamos los puntos en los que se cortan la gráfica de f (x) y el eje OX.

x3 – 4 x = 0


Resolvemos la ecuación:


Por tanto, se cortan en los puntos (0, 0), (- 2, 0) y (2, 0).

Si estudiamos el signo de la función f (x) en los intervalos que determinan dichos puntos, obtenemos que:

- en (- , - 2), f (x) < 0

- en (- 2, 0), f (x) > 0

- en (0, 2), f (x) < 0

- en (2, + ), f (x) > 0

Por tanto, una gráfica aproximada de f (x), tendría la forma siguiente:


De esta forma, el área encerrada por la gráfica y el eje de abscisas es:


Es decir:


Por tanto, tenemos que:


Sustituyendo los límites de integración, se obtiene que:


Es decir, el área buscada es de 8 unidades de superficie.

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