Problema 4.

Halla los valores de a, b y c en la función f (x) = ax³ + bx² + 2x + c sabiendo que su tangente en el punto (1, 1) es la recta  y = − x + 2 y que la función pasa por el punto (0, 2).

Solución:

Según los datos que se dan, deducimos que se cumplen las condiciones siguientes:

- La gráfica de f (x) pasa por el punto (1, 1); es decir, f (1) = 1. Por tanto:

a · 1³ + b · 1² + 2 · 1 + c = 1

a + b + c =  - 1

-  La gráfica de f (x) pasa por el punto (0, 2); es decir, f (0) = 2. Entonces:

a · 0³ + b · 0² + 2 · 0 + c = 2

c =  2

- La tangente en el punto (1, 1) es la recta  y = − x + 2; es decir,  la pendiente de la recta tangente en dicho punto tiene pendiente m =  - 1:

f ´ (1) = - 1

Además, sabemos que:

f ´ (x) = 3 a x ² + 2 b x + 2

f ´ (1) = 3 a + 2 b + 2 = - 1

3 a + 2 b = - 3

En conclusión, las condiciones que deben cumplirse dan lugar al sistema de ecuaciones siguiente:

Y este sistema es equivalente al siguiente:

Multiplicamos la primera ecuación por – 2:

Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos:

a = 3

Sustituyendo los valores de a y c en la primera ecuación del sistema, se tiene que:

a + b + c = - 1

3 + b + 2 = - 1

b = -6

Por tanto, los valores buscados en f (x) son a = 3, b = - 6 y  c = 2.