Problema 3.

En cierta confitería elaboran dos tipos de dulces, Extra y Supremo. Para el Extra se utilizan 500 gr de nata y 250 gr de chocolate. Para el Supremo se utilizan 250 gr de nata y 250 gr de chocolate. Se dispone de 20 kg de nata y de 15 kg de chocolate. El precio de venta de un dulce Extra es de 20 euros y el de uno Supremo de 15 euros.

¿Cuántos dulces de cada tipo deberá elaborar la confitería para que el beneficio obtenido por la venta sea máximo?

Solución:

Sean  x = nº de dulces Extra, y = nº de dulces Supremo.

El número de cada tipo de dulce ha de ser un número mayor o igual que cero. Y añadiendo los límites establecidos por las cantidades de ingredientes, se obtienen las condiciones siguientes:

Y la función beneficio que queremos optimizar es F (x, y) = 20 x + 15 y.

Utilizamos una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de las condiciones anteriores:

0,5 x + 0,25 y = 20     

          

0,25 x + 0,25 y = 15

x = 0 es el eje de ordenadas

y = 0 es el eje de abscisas

Representando gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la coloreada de verde y los vértices son los que se muestran en la figura:

Las coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas 0,5 x + 0,25 y = 20; 0,25 x + 0,25 y = 15.

Las coordenadas de los cuatro vértices son, por tanto:

A (0,0)     B (0, 60)     C (20, 40)     D (40, 0)

Sustituyendo estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:

F (A) = 0

F (B) = 15 · 60 = 900

F (C) = 20 · 20 + 15 · 40 = 1000

F (D) = 20 · 40 = 800

Para que el beneficio sea máximo, se debe elaborar 20 pasteles Extra y 40 pasteles Supremo.