Problema 3.

Encuentra el área limitada por la parábola de ecuación y = x² + 4 y sus rectas tangentes en los puntos x = - 1 y x = 1.

Solución:

Las rectas tangentes a la parábola y = x² + 4 en los puntos x = - 1 y x = 1 son las siguientes:

Si x = 1:

y – f (1) = f ´(1) (x – 1)

y – 5 = 2 (x – 1)

y = 2 x + 3

Si x = - 1:

y – f (- 1) = f ´(- 1) (x + 1)

y – 5 = - 2 (x + 1)

y = - 2 x + 3

Haciendo la representación gráfica de la parábola y sus tangentes tenemos:

El área buscada sería:

Pero, como podemos ver en la gráfica, el recinto encerrado por la parábola y sus tangentes es simétrico respecto del eje Y, por lo que podemos calcular el área del recinto que está la derecha del eje Y, y el área del recinto total será el doble que la hallada, es decir:

Realizando esta integral tenemos: