Problema 3.

Determina la ecuación de una función f (x) de segundo grado sabiendo que pasa por el punto P (2, 6), y que el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto Q (1, - 1) es 5.

Solución:

Como la función que tenemos que determinar es de segundo grado, es de la forma:

 f(x) = a x² + b x + c

Por tanto, tenemos que hallar los valores de a, b y c con las condiciones que nos dan en el enunciado.

- Al pasar por el punto P (2, 6) la función cumple:

f (2) = 6 

a · 2² + b · 2 + c = 6

4 a + 2 b + c = 6

- Al pertenecer Q (1, - 1) a la gráfica de la función tenemos:

f (1) = - 1

a · 1² + b · 1 + c = - 1

a + b + c = - 1

- Como la pendiente de la derivada en x = 1 es 5  y, además, f ´(x) = 2 a x + b, tenemos la siguiente condición:

f ´ (1) = 2 ·a ·1 + b = 5

2 a + b = 5

Con las tres ecuaciones obtenidas formamos el sistema siguiente:

Si restamos a la primera ecuación la tercera multiplicada por dos tenemos que  c = - 4.

Sustituyendo este valor de c en la segunda ecuación conseguimos:

a + b = 3

a = 3 - b

Sustituyendo los valores obtenidos de a y c en la primera ecuación obtenemos:

4 · (3 – b) + 2 b + (- 4) = 6

12 – 4 b + 2 b – 4 = 6

- 2 b = -2

b = 1

Como sabemos que a = 3 – b, sustituyendo el valor obtenido para b, se deduce que a = 2.

Y, de esta forma, la función pedida es:

f (x) = 2 x² + x – 4