¿En
qué punto la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x 2 +
5x – 6 es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Halla la ecuación de
dicha tangente.
Solución:
La
bisectriz del primer cuadrante es la recta de ecuación y = x, cuya pendiente es
1.
Así,
para que la tangente a la gráfica de f (x) sea paralela a esta bisectriz,
debe tener como pendiente m = 1 en el
punto buscado.
Suponemos
que la abscisa del punto es x = a.
Ya
que dicha pendiente es el valor de la derivada de la función en dicho punto,
tenemos que:
m
= f ´ (a) = 2 a + 5 = 1
2
a = - 4
a
= - 2
Así,
la recta tangente es paralela a esta bisectriz en el punto de abscisa x = - 2;
es decir, en el punto ( - 2, f (- 2) ) = (
- 2, - 12).
La
ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en x = a es:
y
– f (a) = m · (x – a)
Por
tanto, la ecuación de la recta tangente buscada es:
y
– ( - 12) = 1 · [ x – ( - 2)]
y
+ 12 = x + 2
y = x - 10
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