Problema 1.

Una fábrica produce muebles de dos tipos: en madera de roble y en madera de nogal. Un mueble de roble requiere 3 horas de montaje y 3 horas de acabado, mientras que uno de nogal requiere 3 horas de montaje y 6 horas de acabado. Por razones de maquinaria, el máximo número de horas disponibles es de 120 para el montaje y 180 para el acabado. Los beneficios que obtiene la fábrica son de 300 euros por cada mueble de roble y 400 euros por cada uno de nogal.

a) ¿Cuántos muebles de cada tipo hay que fabricar para que el beneficio sea máximo?

b) ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?

Solución:

Sean  x = nº de muebles de roble, y = nº de muebles de nogal.

El número de cada tipo de mueble ha de ser un número mayor o igual que cero. Y añadiendo los límites establecidos para el número máximo de horas de montaje y acabado, se obtienen las condiciones siguientes:

Y la función beneficio que queremos optimizar es F (x, y) = 300 x + 400 y.

Utilizamos una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de las condiciones anteriores:

3 x + 3 y = 120        

       

3 x + 6 y = 180

x = 0 es el eje de ordenadas

y = 0 es el eje de abscisas

Representando gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la coloreada de rojo y los vértices son los que se muestran en la figura:

Las coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas 3 x + 3 y = 120, 3 x + 6 y = 180. 

Las coordenadas de los cuatro vértices son, por tanto:

A (0,0)     B (0, 30)     C (20, 20)     D (40, 0)

Sustituyendo estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:

F (A) = 0

F (B) = 400 · 30 = 12000

F (C) = 300 · 20 + 400 · 20 = 14000

F (D) = 300 · 40 = 12000

Así, ya podemos dar respuesta a los dos apartados del problema:

a) Para que el beneficio sea máximo, se debe fabricar 20 muebles de roble y 20 de nogal.

b) El beneficio máximo ascenderá a 14000 euros.