Determina
la constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola de ecuación y
= 3 a x2 + 2 x, la recta y = 0 y las rectas x = 0 y x =
a tiene de área:
(a2 – 1)2
Solución:
Calculamos
los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas:
3
a x2 + 2 x = 0
x
· (3 a x + 2) = 0
x
= 0 ó
x = - (2 / 3 a)
Como
a es positivo, el valor - (2 / 3 a) es negativo y, por tanto, podemos hacer un
dibujo aproximado de la parábola.
Con
los datos conocidos, podemos asegurar que la región de la que conocemos el área
es la coloreada de azul en la figura siguiente:
El
área de la región la hallamos mediante la siguiente integral:
Como
esta región tiene por área (a2 – 1)2, obtenemos la siguiente
ecuación:
a4
+ a2 = (a2 – 1)2
Resolvemos
esta ecuación:
a4
+ a2 = a4 – 2 a2 + 1
3
a2 = 1
a2
= 1 / 3
Sus
soluciones son:
Como
a es positivo, el valor buscado es:
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