Comprueba
que:
Solución:
Intercambiamos
de orden las filas primera y cuarta, con lo que obtenemos:
Hacemos
transformaciones para conseguir ceros y obtener el determinante de una matriz
triangular:
A la
segunda fila le restamos la primera:
A
la fila tercera le restamos la primera:
A
la fila cuarta le restamos la primera multiplicada por a:
A la
fila cuarta le sumamos la segunda:
A la
fila cuarta le sumamos la tercera:
Por
tratarse de una matriz triangular, el determinante es el producto de los
elementos de su diagonal principal. Así, tenemos que:
D
= -
(a - 1) · (a - 1) · (3 – 2 a – a2) =
= - (a - 1)2 · (3 – 2 a – a2)
=
= (a - 1)2 · (a2
+ 2 a - 3)
Factorizamos
el polinomio de segundo grado a2 + 2 a - 3:
Resolviendo la ecuación a2 + 2 a - 3 = 0 se obtiene que sus soluciones son:
a1 =1 y a2
= - 3
Por tanto, se tiene que a2 + 2 a - 3 = (a – 1) · (a + 3).
Sustituimos este factorización en la expresión de D:
D
= (a - 1)2 · (a2
+ 2 a - 3) = (a - 1)2 ·(a –
1) · (a + 3)
En conclusión:
D = (a + 3) ·
(a - 1)3
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