Área encerrada por dos curvas.

Para realizar el cálculo del área de la región que delimitan dos curvas, habrá que estudiar si se cortan o no en el intervalo [a, b], por lo que distinguimos dos casos.

a)  Las funciones f(x) y g(x) no se cortan en [a, b].

Como podemos ver en la representación, tenemos que  A = A₁ - A₂ siendo respectivamente A₁ y A₂ las áreas limitadas por las funciones g(x), f(x) y las rectas x = a, x = b y el eje de abscisas, por tanto:

Ejemplo:

Calculamos el área de la región limitada por las gráficas de g (x) = - x² + 5, f (x) = 2 x + 2, las rectas x = - 1, x = 1 y el eje de abscisas.

En primer lugar vemos donde se cortan las funciones, para ello igualamos ambas funciones:

- x² + 5 = 2 x + 2

x² + 2 x - 3 = 0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado, se obtienen sus soluciones:

x₁ = 1 y x₂ = - 3

Por tanto las funciones no se cortan en el intervalo (- 1, 1).

Vemos ahora cuál de las dos es mayor en dicho intervalo, para lo que cogemos un valor del intervalo y lo sustituimos en las dos funciones (será mayor la función que tome un valor mayor en dicho punto).

Escogemos, por ejemplo, el valor x = 0.

g (0) = 5, y f (0) = 2

Luego g (x) es mayor o igual que  f (x) para todo x del intervalo  (- 1, 1), y el área es:

Así, el área encerrada es de 16 / 3 unidades de superficie.

b) Las funciones f(x) y g(x) se cortan  en [a, b].

En este caso se hallan los puntos de corte de las funciones (igualando ambas funciones), y en cada subintervalo obtenido se aplica el caso anterior. Como podemos ver en la representación, se tiene que  A = A₁ + A₂.

Por tanto:

Ejemplo:

Sean las funciones f (x) = x³ y g (x) = x.

Estudiemos cuál es el área encerrada por las gráficas de ambas funciones.

Igualando las funciones obtenemos los puntos donde se cortan y, de esta forma, obtenemos los recintos que ambas determinan.

x³ = x

x³ - x = 0

x · (x² - 1) = 0

Las soluciones de esta ecuación son x₁ = - 1, x₂ = 0 y x₃ = 1, por lo que las funciones determinan dos recintos.

Tomando un valor de cada uno de los intervalos (- 1, 0) y (0, 1) y sustituyendo dicho valor  en f y g obtenemos que:

f (x) ³ g (x) para todo x del intervalo  (- 1, 0)

g (x) ³ f (x) para todo x de (0, 1)

Por tanto, el área encerrada por las curvas es:

Es decir, el área buscada es de 1 /4 unidades de superficie.