viernes, 25 de marzo de 2016

Problema 6.

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.


Solución:

Sean x e y la longitud del lado de la base y la altura respectivamente.

Utilizando la función volumen, despejamos la relación entre dichas variables:


De esta forma, la función que vamos a optimizar es:


Derivamos para obtener los posibles extremos relativos:


Igualamos a cero:
f ´(x) = 0


Por tanto, en  x = 3 se alcanza un posible máximo ó mínimo.

Sustituyendo en la segunda derivada es fácil comprobar que se trata de un mínimo en  x = 3 , ya que f´´(3) > 0  y, sustituyendo este valor de x en la expresión de y, obtenemos que y = 1,5.

Por tanto, para que se precise la menor cantidad de chapa, la base debe ser un cuadrado de lado 3 m y la altura del depósito ha de ser  1,5 m.

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