Problema 3.

Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.

 Solución:   

Llamamos:

 x = 1^er cateto (base)

 y = 2º cateto (altura)

Se cumple que x + y = 4 y,  por tanto, y = 4 – x 

La función área que hay que optimizar es: 

Si la expresamos en función de una sola variable, resulta:

La derivada de dicha función es  A´(x) = 2 – x.

Igualamos a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos:

A´ (x) = 0 ⇒ 2 - x = 0 ⇒ en x = 2 hay posible máximo ó mínimo de la función 

Hallamos la 2ª derivada:  A´´ (x) = - 1

Sustituimos el posible máximo ó mínimo en dicha derivada:

A´´ (2) = - 1 < 0 , luego en x = 2 se alcanza un máximo

Como y = 4 – x, resulta  y = 4 – 2 = 2 cm.

Calculamos el área para estos valores de x e y:

A (2) = 4 – 4 / 2 = 4 – 2 = 2, y así, el área máxima que puede tener el triángulo rectángulo es de 2 cm^2.