Problema 10.

El rendimiento físico (evaluado en una escala de 0 a 100) de un deportista durante una prueba de 15 minutos de duración queda bien descrito a través de la función:

R(t)= a t²+ b t + c    con   0 ≤ t ≤ 15     (a ≠ 0)

Sabiendo que alcanza el máximo rendimiento de 100 a los 10 minutos y que finaliza la prueba con un rendimiento de 75, calcula, justificando la respuesta, los coeficientes a, b y c.

Solución:

Si alcanza un máximo en t = 10, se verifica que R´ (10) = 0.

Si ese máximo rendimiento es de 100, se cumple que R (10) = 100.

Como la prueba la ha terminado con un rendimiento de 75, se cumple que R (15) = 75.

Estas tres condiciones se traducen en las ecuaciones siguientes:

R´(10) = 2·a·10 + b = 0; es decir, 20 a + b = 0

R (10) = a·10² + b·10 + c = 100; es decir, 100 a + 1 0b + c = 100

R (15) = a·15² + b·15 + c = 75; es decir, 225 a + 15 b + c = 75

De la primera ecuación se despeja b = - 20 a y sustituimos esta expresión en las otras dos ecuaciones, obteniendo el sistema:

 100 a – 200 a + c = 100;     - 100 a + c = 100

225 a – 300 a + c = 75;     - 75 a + c = 75

  

Restando ambas ecuaciones, se deduce que 25 a = - 25 y, por tanto,   a = -1.

A partir de este valor, se calculan con facilidad los valores b = 20 y c = 0.