martes, 1 de marzo de 2016

Ejercicios y problemas de trigonometría


Ejercicio 1.

Expresa en radianes los siguientes ángulos:

45o      30o      270o      120o

Solución:


Como sabemos que π radianes equivalen a 180o, haciendo una regla de tres simple y directa, deducimos que:



Ejercicio 2.

Pasa a grados los siguientes ángulos:

3π/4 radianes        5π/2 radianes       5π/6 radianes

Solución:

Como sabemos que π radianes equivalen a 180o,simplemente sustituimos π por este valor y operamos:

3π/4 radianes = 3·180o/4 = 135o

5π/2 radianes = 5·180o/2 = 450o

5π/6 radianes = 5·180o/6 = 150o


Ejercicio 3.

Calcula el seno y el coseno del ángulo α a partir del triángulo siguiente:


Solución:

Calculamos la hipotenusa del triángulo utilizando el teorema de Pitágoras:

hipotenusa2 = cateto12 + cateto22

h2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100

Calculando la raíz cuadrada de los dos miembros en la igualdad h2 = 100, se deduce que lahipotenusa es  h = 10 cm.

Ahora podemos calcular las razones trigonométricas buscadas:

sen α = cateto opuesto / hipotenusa = 6 /10 = 0,6

cos α = cateto contiguo / hipotenusa = 8 /10 = 0,8


Ejercicio 4.

Calcula la tangente del ángulo β a partir de los datos del siguiente triángulo:


Solución:

Utilizando el teorema de Pitágoras, calculamos la longitud del cateto opuesto al ángulo β:


Ahora ya podemos calcular la tangente del ángulo:



Ejercicio 5.

Sabiendo que sen α = 1/5 y que 90o< α < 180o, calcula el coseno y la tangente del ángulo α.

Solución:

Utilizamos la Fórmula Fundamental de la Trigonometría:

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

(1/5)2 + (cos α)2 = 1

(cos α)2 = 1 - (1/5)2  = 1 – 1/25 = 24/25

Como α está en el segundo cuadrante, su coseno tiene signo negativo y, de esta forma, tenemos que:


Conocidos el seno y el coseno podemos calcular todas las demás razones trigonométricas.



Ejercicio 6.

Un ángulo α se encuentra en el tercer cuadrante. Si tg α = 12/5, calcula su seno y su coseno.

Solución:

Utilizamos la relación (sec α)2 = 1 + (tg α)2:

(sec α)2 = 1 + (12/5)2 = 1 + 144/25 = 25/25 + 144/25 = 169/25

Como el ángulo está en el tercer cuadrante, su coseno y su secante tienen signo negativo. 

Por tanto:


Como sec α = 1/cos α, resulta que cos α = - 5/13.

Aplicando que  tg α = sen α / cos α se deduce que:

sen α = tg α · cos α = (12/5 )· (- 5/13) = - 12 / 13


Ejercicio 7.

Si sen α = - 1/3  y 180o < α < 270o, calcula el coseno y la tangente del ángulo α.

Solución:

Utilizamos la Fórmula Fundamental de la Trigonometría:

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

(- 1/3)2 + (cos α)2 = 1

(cos α)2 = 1 - (- 1/3)2  = 1 – 1/9 = 8/9

Como α está en el tercer cuadrante, su coseno tiene signo negativo y, de esta forma, tenemos que:


Conocidos el seno y el coseno podemos calcular la tangente:



Ejercicio 8.

Si cotg α = 0,8 y 0o < α < 90o, calcula el seno y el coseno de α.

Solución:

Utilizamos la siguiente relación:

(cosec α)2 = 1 + (cotg α)2

(cosec α)2 = 1 + (0,8)2 = 1 + (4/5)2 = 1 + 16/25 = 41/25

Al estar el ángulo en el primer cuadrante, su cosecante es positiva y, por ello, tenemos que:


Como cosec α = 1 / sen α, deducimos que sen α = 1 / cosec α  y, por tanto:


Utilizamos que cotg α = cos α / sen α para deducir que cos α = cotg α · sen α  y, de esta forma:



Ejercicio 9.

Sabiendo que sec a = 5/4, y que a pertenece al cuarto cuadrante, calcula las restantes razones trigonométricas de a.

Solución:

Sabemos que para cualquier ángulo a se cumple la Fórmula Fundamental de la Trigonometría:

1 + tg2 a = sec2 a

Sustituimos en esta igualdad:

1 + tg2 a = (5/4)2 = 25/16

Despejamos tg a:

tg2 α = 25/16 – 1 = 25/16 – 16/16 = 9/16


Como sec α = 1/cos α, resulta que cos α = 1/sec α = 4/5.

Utilizando que tg α = sen α/cos α, despejamos sen α = cos α · tg α y, de esta forma, resulta que sen α = (4/5) · (- 3/4) = - 3/5. 

Como cotg α = 1/tg α, obtenemos que cotg α = 1/(- 3/4) = - 4/3.

Además, cosec α = 1/sen α = 1/(- 3/5) = - 5/3.

Por tanto, las razones de a son:

sen a = - 3/5, cos α = 4/5, tg a = - 3/4, cotg a = - 4/3, sec a = 5/4 y cosec a = - 5/3


Ejercicio 10.

Si a es un ángulo del cuarto cuadrante del que conocemos que cos a = 0, 6, calcula las restantes razones trigonométricas.

Solución:

Utilizamos la Fórmula Fundamental:

sen2 a = 1 – cos2 a = 1 – 0,36 = 0,64

Como a está en el cuarto cuadrante, resulta que sen a = - 0,8.

A partir de este resultado obtenemos:

cosec a = - 1/0,8 = - 1,25                           sec a = 1/0,6 = 1,66

tg a = - 0,8/ 0,6 = - 1,33                    cotg a = - 0,6/ 0,8 = - 0,75


Ejercicio 11.

Simplifica la siguiente expresión:

cos3a + cos2 a · sen a + cos a · sen2a + sen3a

Solución:

Sacando factor común en dos ocasiones, obtenemos:

cos3a + cos2 a · sen a + cos a · sen2a + sen3a =

=cos2 a · (cos a + sen a) + sen2 a · (cos a + sen a) =

= (cos2 a + sen2 a) · (cos a + sen a) = 1 · (cos a + sen a) =

= cos a + sen a


Ejercicio 12.

Utiliza la circunferencia goniométrica para calcular el seno, el coseno y la tangente del ángulo α = 135o.

Solución:

Como el ángulo α está en el segundo cuadrante, el ángulo β = 180o – α está en el primer cuadrante. Consideramos pues α = 135o y β = 180o – 135o = 45o.


Se observa que sen 135o = sen 45o y que cos 135o = - cos 45o;  por tanto:


Conocidos el seno y el coseno, determinamos que:

tg 135o = sen 135o / cos 135o = - 1


Ejercicio 13.

Utiliza la circunferencia goniométrica para calcular el seno y el coseno del ángulo σ = 210o.

Solución:





Como el ángulo σ está en el tercer cuadrante, el ángulo α = σ – 180o  está en el primer cuadrante. Consideramos pues σ = 210o y α = 210o -  180o = 30o.



Se observa que sen σ = - sen α  y  cos σ = - cos α. Por tanto:



Ejercicio 14.

Desde un punto del suelo situado a 50 metros del tronco de un árbol se observa el punto más alto de su copa bajo un ángulo de 30o. ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución:

El triángulo que corresponde al enunciado del problema es el siguiente:


La altura del árbol corresponde al cateto opuesto al ángulo α, y el otro dato conocido corresponde con su cateto contiguo. Por tanto podemos utilizar la tangente:


Así,  la altura del árbol es 28,83 metros.


Ejercicio 15.

Desde cierto punto de una plaza vemos la azotea de un edificio bajo un ángulo de 45o y,  si retrocedemos 20 metros alejándonos del edificio, vemos dicha azotea bajo un ángulo de 30o.

¿Cuál es la altura del edificio?

Solución:

El dibujo que corresponde al enunciado del problema es el siguiente:


Utilizando la definición de la tangente de un ángulo, deducimos que:


Sustituyendo los valores de las tangentes, obtenemos el siguiente sistema:


Utilizando la segunda ecuación del sistema se obtiene que x = y.

Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos que:


Así, se tiene la ecuación de segundo grado siguiente:

3 x2 + 120 x + 1200 = 9 x2

6 x2 – 120 x – 1200 = 0

x2 – 20 x – 200 = 0

La resolvemos:


La solución negativa de la ecuación no tiene sentido en este problema pues corresponde a la altura del edificio. Luego la solución es:


Por tanto, la altura del edificio es 27,3 metros.


Ejercicio 16.

Un pasajero de un avión ve desde la ventanilla de su asiento una ciudad justo bajo el avión. Cinco kilómetros después ve la ciudad bajo un ángulo 30º respecto de la horizontal marcada por el vuelo del avión, ¿a qué altura ha sobrevolado el avión dicha ciudad?

Solución:

Si designamos con la letra C la ciudad mencionada, el dibujo que representa la situación expuesta en el problema es el siguiente:


Utilizando la tangente del ángulo, obtenemos la siguiente ecuación:


Por tanto, el avión ha sobrevolado la ciudad a una altura de 2883 metros.

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