Ejercicio 1. Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que
la suma del doble del cuadrado del primero más siete veces el cuadrado del
segundo, sea mínima.
Solución:
El
número 45 hay que descomponerlo en los sumandos 35 y 10.
Ejercicio
2. Dado un cilindro de 4 m3 de volumen,
calcula sus dimensiones para que sea mínima su área.
Solución:
Así,
sus dimensiones han de ser:
Ejercicio
3. Se va a construir
un depósito cilíndrico de aluminio para almacenar 2000 litros de agua. ¿Cuáles
deben ser sus dimensiones para que la cantidad de aluminio utilizada sea
mínima?
Solución:
(Puede observarse
que la altura del cilindro coincide con el diámetro de su base).
Ejercicio 4. Un profesor propone un reto a sus alumnos: a cada
uno de ellos le entrega un alambre de 20 cm de longitud y les dice que
construyan con él un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, de forma que a
cada uno le subirá en la nota final de la evaluación tantos puntos como dm2 tenga
la superficie del polígono que haya construido.
¿Cómo debe ser
dicho polígono para obtener la mayor subida posible de nota? ¿Cuánto supondría
dicha subida en la nota?
Solución:
El
cuadrilátero que debe construirse es el de mayor superficie, que es un cuadrado de lado 5 cm.
Como
la superficie de este cuadrado es 52 = 25 cm2 =
0,25 dm2 , la subida de la nota sería de 0,25 puntos.
Ejercicio
5. Con planchas
cuadradas de cartón de 400 cm2 cada una, se van a construir
cajas sin tapa. Para ello, se recortarán cuadrados iguales en cada vértice de
una plancha.
¿Cuál debe ser el
lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?
Solución:
Si
recortamos un cuadrado de lado
10/3 cm en las esquinas, el volumen de la caja será máximo.
Ejercicio
6. Un agricultor
tiene plantados 250 limoneros en su finca, cada uno de los cuales produce una
media de 25 kg de limones. Con los años, ha comprobado que, por cada limonero
que planta, la producción media de cada uno de los árboles baja en 0,05 kg.
¿Cuánto limoneros
se deben añadir a los existentes para que la cosecha de limones de la finca sea
máxima? ¿Cuál sería esa cosecha?
Solución:
La
cosecha máxima se obtendría plantando 125 nuevos limoneros y ascendería a:
C (125) = - 0,05·1252 +
12,5·125 + 6250 = 7031,25 kg de
limones
Ejercicio
7. Halla las
dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de
paralelepípedo rectangular, sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3,
su altura 1 m y que el coste por m2 es de 50 € para la base, 60
€ para la tapa y 40 € para cada pared lateral.
Solución:
El
coste es mínimo cuando la base del
contenedor es un cuadrado de lado 3 m.
Ejercicio
8. El dueño de una
papelería observa que si el precio que cobra por una fotocopia es de x céntimos
de euro, sus beneficios vienen dados por la expresión:
B = - x2 +
100x – 2300, en euros al día
a)¿Qué beneficio
obtiene si vende las fotocopias a 40 céntimos?
b)¿Qué precio debe
poner a cada fotocopia para obtener el máximo beneficio?
c)¿Cuál será ese
beneficio máximo?
Solución:
a) El
beneficio es de 100 euros diarios.
b) Debe
poner a 50 céntimos cada fotocopia para
obtener el máximo beneficio.
c)
Ese beneficio máximo es de 200 euros diarios.
Ejercicio
9. Se quiere cercar
un terreno rectangular con 60 m de valla de forma que la superficie
encerrada sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?
Solución:
El
terreno de mayor superficie encerrada por la valla es un cuadrado cuyo lado mide 15 m.
Ejercicio
10. En un triángulo isósceles de 18 cm de
perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?
En ese caso,
¿cuánto medirían los lados del triángulo?
Solución:
La
superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:
En
este caso, todos los lados del triángulo miden 6 cm. Luego, se observa que se
trata de un triángulo
equilátero.
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