Ejercicio 7.

Calcula A ⁿ siendo A la matriz siguiente:

Solución:

Calculamos algunas potencias sucesivas de A:

A³ = A² · A = I · A = A

A⁴ = A² · A² = I · I = I

Observamos que Aⁿ = I si n es par.

En efecto, si n es par, existe m tal que n = 2m y, en ese caso, se cumple que:

 Aⁿ = A^2m = (A²)^m = I ^m = I

Del mismo modo, Aⁿ = A si n es impar.

Efectivamente, si n es impar, existe m par tal que n = m + 1, y entonces:

Aⁿ = A^{m + 1} = A^m · A¹ = I· A = A

Como conclusión, Aⁿ = A si n es impar   y Aⁿ = I si n es par, siendo I la matriz identidad de orden tres.