Ejercicio 5.

Halla todas las matrices de la forma

siendo a, b y c números reales, que satisfacen la ecuación X² = 2 X.

Solución:

Utilizando transformaciones de equivalencia, obtenemos:

X ² = 2X

X ² - 2X = 0

Extraemos factor común:

X·(X – 2I) = 0

 siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula, ambas de orden 2. Es decir:

Por tanto, si multiplicamos, obtenemos que:

De aquí, igualando término a término, deducimos las condiciones siguientes:

a² – 2 a = a · (a – 2) = 0

a b – 2 b + c b = b · (a – 2 + c) = 0

c² – 2 c = c · (c – 2) = 0

Resolviendo las ecuaciones primera y tercera de las anteriores, se obtiene:

a = 0 ó a = 2

c = 0 ó c = 2

De esta forma, pueden darse los casos siguientes:

-Si a = 0 y c = 0, sustituyendo en la segunda ecuación, se obtiene que b·(0 - 2 + 0 )= 0, y así b = 0.

-Si a = 0 y c = 2, entonces b·(0 - 2 + 2 )= 0, y así b puede ser cualquier número real.

-Si a = 2 y c = 0, entonces b·(2 - 2 + 0 )= 0, y así b puede ser cualquier número real.

-Si a = 2 y c = 2, entonces b·(2 - 2 + 2 )= 0, y así b = 0.

Resumiendo estos casos, resulta que las matrices que satisfacen la ecuación matricial son: