Si
el diámetro de cada uno de los tres círculos mide 10 cm y, sabiendo que son
tangentes dos a dos, encuentra la
superficie de la región encerrada por ellos, que aparece coloreada de negro en
la figura.
Solución:
Si
unimos mediante segmentos los centros de los círculos, obtenemos la figura
siguiente:
En
ella observamos que el triángulo que aparece es equilátero y cada uno de sus
lados mide 10 cm, al coincidir con el doble del radio de cada círculo.
Calculamos
el área de dicho triángulo, utilizando previamente el teorema de Pitágoras para
calcular su altura:
Su altura es:
Así,
el área del triángulo es:
Por
otro lado, el triángulo, al ser equilátero, determina en cada círculo un sector
circular de 60º de amplitud. El área de cada uno de estos sectores es:
El
área de la región buscada coincide con la del triángulo menos la de los tres
sectores circulares iguales. Por tanto:
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