domingo, 14 de febrero de 2016

Operaciones con complejos en forma polar


Suma y resta.

La suma y la resta de complejos en forma polar son tan complicadas que no es útil realizarlas. Es más sencillo pasar el número a forma binómica y operarlos.

Producto.

Dados dos números complejos z1 = r φ y z2 = r ´ α, el producto de ambos es el número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de z1 y z2, y cuyo argumento es la suma de los argumentos de ambos números. Es decir:

z1 · z2 = r φ · r ´ α = (r · r ´) φ + α


Veamos cómo hemos obtenido esta expresión pasando z1 y z2 a forma trigonométrica y operando:

z1 · z2 = [r (cos j + i sen j)] · [r ’ (cos a + i sen a)] =

= r · r ’ [(cos j · cos a - sen j · sen a) + i (sen j · cos a + cos j · sen a)]

Utilizamos las fórmulas para las razones trigonométricas de la suma de ángulos, es decir:
                         
cos (j + a) = cos j · cos a - sen j · sen a

sen (j + a) = sen j· cos a + cos j · sen a

Y, de esta forma, la expresión anterior se convierte en:

z1 · z2 = r · r’ [cos (j + a) + i sen (j + a)] = r · r ’j + a

División.

Dados dos números complejos z1 = r φ y z2 = r ´ α, el cociente de ambos es el número complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos de z1 y z2, y cuyo argumento es la diferencia de los argumentos de ambos números. Es decir:

z1 : z2 = r φ : r ´ α = (r / r ´) φ -  α

Potenciación.

Dados un número complejo z = r φ, la potencia n-ésima de z es un número complejo de la forma siguiente:

z n = (r φ) n = (r n) n · φ


En efecto, aplicando el producto obtenemos lo siguiente:

(r j) n = r j  r j · · ·  r j = (r · r ··· r) j + j + · · + j = (r n ) n· φ


Si expresamos este resultado en forma trigonométrica, obtendríamos la siguiente expresión conocida como fórmula de Moivre:

 [r (cos j + i sen j)] n = r n  (cos nj + i sen nj)


Ejemplos:

Dados z1 = 1070o  y  z2 = 540o, vamos a calcular: a) z1 · z2, b) z1  / z2  y  c)  (z2 )8.

z1 · z2 =1070o  · 540o = 50 110o

z1 /z2 = 1070o  / 540o = 2 30o

 (z2 )8 = 58 8 · 40o = 390.625 320o

Radicación.

Utilizando el concepto de raíz n-ésima, se tiene que si rj es la raíz n-ésima de Ra se cumple que (rjn = Ra , es decir:


Pero, como se ha visto anteriormente, un número complejo tiene infinitos argumentos que difieren en  2 k p,  es decir:

Ra = Ra + 2p = Ra + 4p = Ra + 6p = · · · = Ra + 2kp

Por tanto:


Así, dado un número complejo z = R α, sus raíces n-ésimas son n números complejos cuyo módulo es la raíz n-ésima del módulo de z y cuyo argumento es:


Ejemplos:

a) Vamos a calcular las raíces cúbicas de  z = 27120o .

Sabemos que los argumentos son: 


Además:


Por tanto las raíces cúbicas de 27120o son: z0 = 340o , z1 = 3160o  y  z2 = 3280o .

b) Vamos a resolver la ecuación  z4 + 16 = 0.

Si  z4 + 16 = 0, tenemos que z4 = - 16 . Por tanto:


Realizando esta raíz, deducimos que z0 = 245o , z1 = 2135o  , z2 = 2225o  y  z3 = 2315o son las soluciones de la ecuación dada.

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