sábado, 6 de febrero de 2016

Dos positivos consecutivos

Encuentra dos números consecutivos y positivos, tales que si multiplicamos sus cuadrados se obtiene el mismo resultado que si sumamos dos unidades al doble del cubo del menor de los números buscados.


Solución:


Llamamos x al menor de los dos números.

Así, el otro número sería x + 1 por ser consecutivos.

Sus cuadrados serán x2 y (x + 1)2.

Utilizando la condición indicada en el enunciado del problema, obtenemos la ecuación siguiente:

x2·(x + 1)2 = 2 + 2 x3

Operamos para simplificar la ecuación:

x2·(x2 + 2 x + 1) = 2 + 2 x3

x4 + 2 x3 + x2 = 2 + 2 x3

x4 + 2 x3 + x2 - 2 - 2 x3 = 0

x4 + x2 - 2 = 0

Como la ecuación resulta ser bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x2.

t 2 + t – 2 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:


Luego las soluciones son t1 = 1 y t2 = - 2.

Al deshacer el cambio para hallar las soluciones de la incógnita x, resulta que la raíz cuadrada de – 2 no es real. 

Entonces, sólo es posible que la incógnita x tome los valores x1 = 1 y x2 = - 1.

Pero como en el problema se buscan números positivos, solo es viable la solución x1 = 1.

De esta forma, x = 1 y x + 1 = 2.

Así, los números buscados son el 1 y el 2.

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