lunes, 29 de febrero de 2016

Resolución de triángulos rectángulos


Resolver un triángulo significa determinar sus ángulos y las longitudes de sus lados, a partir de los datos conocidos.

Para resolver un triángulo rectángulo se pueden utilizar como herramientas todas las siguientes:

-Teorema de Pitágoras.

-Las definiciones de las razones trigonométricas.

-El hecho de que los tres ángulos suman 180o.

-La Fórmula Fundamental de la Trigonometría.

(sen α)2 + (cos α)2 = 1 para todo ángulo α

La demostración de esta fórmula aparece en la entrada “Razones trigonométricas de un ángulo agudo”.


-La relación entre la tangente, el seno y el coseno de un ángulo, que también se estudia en la entrada de “Razones trigonométricas de un ángulo agudo”.


-La relación entre la cotangente, el seno y el coseno de un ángulo.


Vamos a demostrarla.


-La relación siguiente:

(sec α)2 = 1 + (tg α)2

Vamos a demostrarla.


-La relación siguiente:

(cosec α)2 = 1 + (cotg α)2

Vamos a demostrarla.


Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera


Las razones trigonométricas de un ángulo no dependen de las longitudes de los lados del triángulo, sino solamente de la amplitud del ángulo.

En efecto, consideramos los dos triángulos semejantes siguientes:


Por ser semejantes, el ángulo A es el mismo en ambos triángulos.

Si nos fijamos en las figuras anteriores, y calculamos el seno y el coseno del ángulo A utilizando los dos triángulos, tenemos que:


Pero, por la semejanza de los triángulos, se cumple que:


Por tanto, el seno y el coseno de A no dependen de la longitud de los lados del triángulo.

Y se ve fácilmente que, si la hipotenusa del triángulo mide la unidad de longitud, el seno de A coincide con su cateto opuesto y el coseno de A coincide con su cateto contiguo.


Circunferencia goniométrica

Es aquella cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y cuyo radio es la unidad de longitud.

Se divide en cuatro cuadrantes determinados por los ejes coordenados, que se numeran en sentido contrario al de las agujas del reloj.


Si consideramos un ángulo α del primer cuadrante, tenemos lo siguiente:


Teniendo en cuenta que los triángulos OPR, OQS y OTU son semejantes:


Si consideramos un ángulo β del segundo cuadrante, tenemos lo siguiente:


sen β = PQ

cos β = OP

Además, si consideramos el ángulo α = 180oβ, este último estará en el primer cuadrante:


Es fácil observar que sen β = PQ = sen α y que cos β = OP = - cos α.

Si consideramos un ángulo σ del tercer cuadrante, tenemos:


Observamos que sen σ = PQ y cos σ = OP.

Además, el ángulo α = σ – 180o está en el primer cuadrante.


Y se observa que sen σ = - sen α  y  cos σ = - cos α.

Si consideramos un ángulo φ del cuarto cuadrante, tenemos:


Observamos que sen φ = PQ y cos φ = OP.

Además, el ángulo α = 360o - φ está en el primer cuadrante.


Y se observa que sen φ = - sen α  y  cos φ =  cos α.

De todas las consideraciones anteriores podemos deducir que, para cualquier ángulo α se verifica lo siguiente:

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

sen α es positivo si α está en el primero o en el segundo cuadrante

sen α es negativo si α está en el tercero o en el cuarto cuadrante

cos α es positivo si α está en el primero o en el cuarto cuadrante

cos α es negativo si α está en el segundo o en el tercer cuadrante

Además, se observa que:

sen 0o = 0, cos 0o = 1

 sen 90o = 1, cos 90o = 0

 sen 180o = 0, cos 0o = -1

 sen 270o = -1, cos 0o = 0

viernes, 26 de febrero de 2016

Razones trigonométricas de un ángulo agudo



Para definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo utilizamos un triángulo rectángulo.


Se define el seno del ángulo A como la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa; es decir:


Se define el coseno de A como la razón entre su cateto contiguo y la hipotenusa; es decir:


Se define la tangente de A como la razón entre su cateto opuesto y su cateto contiguo;  es decir:


Se define la cosecante de A como la razón entre la hipotenusa y su cateto opuesto; es decir, es el inverso del seno de A:


Se define la secante de A como la razón entre la hipotenusa y su cateto contiguo; es decir, es el inverso del coseno de A:


Se define la cotangente de A como la razón entre su cateto contiguo y su cateto opuesto; es decir, es el inverso de la tangente de A:


A partir de estas definiciones, es fácil deducir la siguiente relación entre el seno y el coseno de un ángulo:


Como el triángulo ABC es rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras y, por tanto, se tiene que  a 2 + c 2 = b 2. Si tenemos en cuenta este resultado en la expresión anterior, se deduce que:


Esta expresión se conoce como Fórmula fundamental de la Trigonometría.

También se deduce fácilmente la siguiente relación entre la tangente, el seno y el coseno de un ángulo:


Luego se tiene que:


Si nos fijamos en el triángulo rectángulo del principio, observamos que el cateto opuesto al ángulo A es el cateto contiguo al ángulo C y el cateto contiguo al ángulo A es el cateto opuesto al ángulo C. Además, los ángulos A y C son complementarios, ya que suman 90o.

Luego, como conclusión, si dos ángulos A y C son complementarios, se cumple que:

sen A = cos C           cos A = sen C          tg A = cotg C      

cosec A = sec C       sec A = cosec C       cotg A = tg C



Razones trigonométricas del ángulo de 45o

Consideramos un triángulo rectángulo e isósceles, es decir, con sus dos catetos de la misma longitud.



Los ángulos A y C son iguales y miden 45o.

Por tratarse de un triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras:


Según la definición de las razones trigonométricas, deducimos los siguientes resultados:








Razones trigonométricas del ángulo de 60o


Consideramos un triángulo equilátero (sus tres lados son iguales y sus tres ángulos miden 600) y trazamos su altura:


La altura divide al triángulo en otros dos que son rectángulos. Consideramos uno de ellos:


Para evitar tener que operar con fracciones, hemos considerado que el lado del triángulo equilátero inicial mide 2 a.

Como este nuevo triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:


Aplicando las definiciones de las razones trigonométricas, obtenemos los siguientes resultados:




Razones trigonométricas del ángulo de 30o

Teniendo en cuenta que los ángulos de 30o y 60o son complementarios, no es preciso hacer cálculos para obtener las razones trigonométricas del ángulo de 30o una vez conocidas las del de 60o.


Medida de un ángulo


Consideramos un punto O del plano  y un número real positivo r.


Trazamos la circunferencia de centro O y radio r.


Si determinamos dos puntos de la circunferencia, A  y B, tales que la longitud del arco de circunferencia que determinan tenga la misma longitud que el radio de la circunferencia, r, el ángulo de vértice O y cuyos lados pasan por los puntos A y B medirá un radián.


Es decir, si la longitud del arco AB es r entonces el ángulo AOB mide un radián.

Si consideramos el ángulo completo (el que corresponde a una vuelta completa a la circunferencia), su arco correspondiente tendrá una longitud igual a la de la circunferencia, es decir, 2 π r.

Así, la longitud de la circunferencia completa contiene 2 π veces la longitud r. Por tanto, el ángulo completo mide 2 π radianes.

Se deduce de ello que 2 π radianes es lo mismo que 360o y, de esta forma, queda establecida la equivalencia entre dos formas de medir un ángulo (en radianes y en grados sexagesimales).

Esta equivalencia queda de la forma siguiente en los ángulos notables:

2 π radianes = 360o                 π radianes = 180o                 (π / 2) radianes = 90o

(3 π / 2) radianes = 270o                (π / 3) radianes = 60o

 (π / 4) radianes = 45o                        (π / 6) radianes = 30o

Para pasar de grados a radianes y viceversa será suficiente aplicar una regla de tres simple.


domingo, 21 de febrero de 2016

Bloque 2.



Problema 2.1.

Problema 2.2.

Problema 2.3.

Problema 2.4.

Problema 2.5.

Problema 2.6.

Problema 2.7.

Problema 2.8.

Problema 2.9.

Problema 2.10.

Problema 2.10.

Las diagonales de un rombo miden 30 cm y 40 cm.

¿Cuál es la distancia entre los lados paralelos del rombo?

Solución:


Consideramos uno de los cuatro triángulos rectángulos en los que sus diagonales dividen al rombo.


Y, utilizando el teorema de Pitágoras, calculamos la longitud del lado del rombo:



Calculamos el área del rombo, utilizando sus diagonales:


Pero, si consideramos el rombo apoyado sobre uno de sus lados, también podemos calcular su área como base por altura, siendo la base el lado del rombo y la altura la distancia entre los lados paralelos, que es lo que queremos calcular.


Área = 25 · H = 600 cm2

Despejamos el valor de H:

H = 600/25 = 24 cm

Así, la distancia entre los lados paralelos es de 24 cm.